微积分学示例

$x = 45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10}$

解题步骤 1

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$ 。

$45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$

解题步骤 1.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $45$ 。

$3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x - 45$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$5 y + \frac{x y}{10} = x - 45 - 3 x$

解题步骤 1.2.3

从 $x$ 中减去 $3 x$ 。

$5 y + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

解题步骤 1.3

从 $5 y + \frac{x y}{10}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

从 $5 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 5 + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

解题步骤 1.3.2

从 $\frac{x y}{10}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot 5 + y (\frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

解题步骤 1.3.3

从 $y \cdot 5 + y \frac{x}{10}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

解题步骤 1.4

将 $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ 中的每一项除以 $5 + \frac{x}{10}$ 并化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ 中的每一项都除以 $5 + \frac{x}{10}$ 。

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

解题步骤 1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.1

约去 $5 + \frac{x}{10}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

解题步骤 1.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

解题步骤 1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

解题步骤 1.4.3.2

将分数的分子和分母乘以 $10$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1

将 $\frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$ 乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$y = \frac{10}{10} \cdot \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

解题步骤 1.4.3.2.2

合并。

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 (5 + \frac{x}{10})}$

解题步骤 1.4.3.3

运用分配律。

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

解题步骤 1.4.3.4

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.4.1

约去公因数。

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

解题步骤 1.4.3.4.2

重写表达式。

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

解题步骤 1.4.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.3.5.1

将 $- 2$ 乘以 $10$ 。

$y = \frac{- 20 x + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

解题步骤 1.4.3.5.2

将 $10$ 乘以 $- 45$ 。

$y = \frac{- 20 x - 450}{10 \cdot 5 + x}$

解题步骤 1.4.3.5.3

从 $- 20 x - 450$ 中分解出因数 $10$ 。

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解题步骤 1.4.3.5.3.1

从 $- 20 x$ 中分解出因数 $10$ 。

$y = \frac{10 (- 2 x) - 450}{10 \cdot 5 + x}$

解题步骤 1.4.3.5.3.2

从 $- 450$ 中分解出因数 $10$ 。

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 (- 45)}{10 \cdot 5 + x}$

解题步骤 1.4.3.5.3.3

从 $10 (- 2 x) + 10 (- 45)$ 中分解出因数 $10$ 。

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 \cdot 5 + x}$

解题步骤 1.4.3.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.4.3.6.1

将 $10$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{50 + x}$

解题步骤 1.4.3.6.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{10 (- (2 x) - 45)}{50 + x}$

解题步骤 1.4.3.6.3

将 $- 45$ 重写为 $- 1 (45)$ 。

$y = \frac{10 (- (2 x) - 1 (45))}{50 + x}$

解题步骤 1.4.3.6.4

从 $- (2 x) - 1 (45)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{10 (- (2 x + 45))}{50 + x}$

解题步骤 1.4.3.6.5

化简表达式。

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解题步骤 1.4.3.6.5.1

将 $- (2 x + 45)$ 重写为 $- 1 (2 x + 45)$ 。

$y = \frac{10 (- 1 (2 x + 45))}{50 + x}$

解题步骤 1.4.3.6.5.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$ 。

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$

解题步骤 2.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 45$ 且 $g (x) = 50 + x$ 。

$- 10 \frac{(50 + x) \frac{d}{d x} [2 x + 45] - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

根据加法法则， $2 x + 45$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]$ 。

$- 10 \frac{(50 + x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5

因为 $45$ 对于 $x$ 是常数，所以 $45$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + 0) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$- 10 \frac{(50 + x) \cdot 2 - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6.2

将 $2$ 移到 $50 + x$ 的左侧。

$- 10 \frac{2 \cdot (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.7

根据加法法则， $50 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.8

因为 $50$ 对于 $x$ 是常数，所以 $50$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [x]}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \cdot 1}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.11

合并分数。

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解题步骤 2.1.3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.11.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$ 。

$\frac{- 10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.11.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

运用分配律。

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.2

运用分配律。

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x) - 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.3

运用分配律。

$- \frac{10 (2 \cdot 50) + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4

化简分子。

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解题步骤 2.1.4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.4.1.1

乘以 $10 (2 \cdot 50)$ 。

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解题步骤 2.1.4.4.1.1.1

将 $2$ 乘以 $50$ 。

$- \frac{10 \cdot 100 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4.1.1.2

将 $10$ 乘以 $100$ 。

$- \frac{1000 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4.1.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- 2 x) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4.1.4

将 $- 2$ 乘以 $10$ 。

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4.1.5

乘以 $10 (- 1 \cdot 45)$ 。

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解题步骤 2.1.4.4.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $45$ 。

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 \cdot - 45}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4.1.5.2

将 $10$ 乘以 $- 45$ 。

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4.2

合并 $1000 + 20 x - 20 x - 450$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.4.4.2.1

从 $20 x$ 中减去 $20 x$ 。

$- \frac{1000 + 0 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4.2.2

将 $1000$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1000 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.4.3

从 $1000$ 中减去 $450$ 。

$f' (x) = - \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ 。

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$550 = 0$

解题步骤 3.3

因为 $550 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 4

求使导数无意义的值。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(50 + x)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $50 + x$ 设为等于 $0$ 。

$50 + x = 0$

解题步骤 4.2.2

从等式两边同时减去 $50$ 。

$x = - 50$

解题步骤 5

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ 。

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解题步骤 5.1

在 $x = - 50$ 处计算

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解题步骤 5.1.1

代入 $- 50$ 替换 $x$ 。

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

解题步骤 5.1.2

化简。

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解题步骤 5.1.2.1

去掉圆括号。

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

解题步骤 5.1.2.2

从 $50$ 中减去 $50$ 。

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{0}$

解题步骤 5.1.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 6

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

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