微积分学示例

$y = \frac{6 x}{x^{2} + 36}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6 x}{x^{2} + 36}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$ 。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 36})$

解题步骤 1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 36$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.3.2

将 $x^{2} + 36$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.3.5

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

解题步骤 1.1.9

组合 $6$ 和 $\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{6 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.10

化简。

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解题步骤 1.1.10.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{6 (- x^{2}) + 6 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 6 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.10.2.2

将 $6$ 乘以 $36$ 。

$f' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ 。

$\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$- 6 x^{2} + 216 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $216$ 。

$- 6 x^{2} = - 216$

解题步骤 2.3.2

将 $- 6 x^{2} = - 216$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $- 6 x^{2} = - 216$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 216}{- 6}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 216}{- 6}$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 216}{- 6}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.1

用 $- 216$ 除以 $- 6$ 。

$x^{2} = 36$

解题步骤 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

解题步骤 2.3.4

化简 $\pm \sqrt{36}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 6$

解题步骤 2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 6$

解题步骤 2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 6$

解题步骤 2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 6, - 6$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{6 x}{x^{2} + 36}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 6$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $6$ 替换 $x$ 。

$\frac{6 (6)}{{(6)}^{2} + 36}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{36}{6^{2} + 36}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{36}{36 + 36}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $36$ 和 $36$ 相加。

$\frac{36}{72}$

解题步骤 4.1.2.3

约去 $36$ 和 $72$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1

从 $36$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 (1)}{72}$

解题步骤 4.1.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.2.1

从 $72$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

在 $x = - 6$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 6$ 替换 $x$ 。

$\frac{6 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 36}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $6$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{- 36}{{(- 6)}^{2} + 36}$

解题步骤 4.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.2.2.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 36}{36 + 36}$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $36$ 和 $36$ 相加。

$\frac{- 36}{72}$

解题步骤 4.2.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.3.1

约去 $- 36$ 和 $72$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 (- 1)}{72}$

解题步骤 4.2.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1.2.1

从 $72$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 \cdot - 1}{36 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{36 \cdot - 1}{36 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(6, \frac{1}{2}), (- 6, - \frac{1}{2})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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