微积分学示例

$y = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

重新排序项。

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

解题步骤 1.1.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.2.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

解题步骤 1.1.4.2.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 1.1.4.2.3

使用正弦倍角公式。

$f' (x) = \sin (2 x) - \sin (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\sin (2 x) - \sin (x)$ 。

$\sin (2 x) - \sin (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\sin (2 x) - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.3

从 $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.3.2

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.3.3

从 $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.5

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 2.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 2.5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 2.5.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.6

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.6.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \cos (x) = 1$

解题步骤 2.6.2.2

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.6.2.2.1

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 2.6.2.4

化简右边。

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解题步骤 2.6.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 2.6.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.6.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 2.6.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.6.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 2.6.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.6.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 2.6.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 2.6.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 2.6.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.6.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.6.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.7

最终解为使 $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\sin^{2} (0) + \cos (0)$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0^{2} + \cos (0)$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + \cos (0)$

解题步骤 4.1.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

在 $x = π$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $π$ 替换 $x$ 。

$\sin^{2} (π) + \cos (π)$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin^{2} (0) + \cos (π)$

解题步骤 4.2.2.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0^{2} + \cos (π)$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + \cos (π)$

解题步骤 4.2.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$0 - \cos (0)$

解题步骤 4.2.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 4.2.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.3

在 $x = \frac{π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{π}{3}$ 替换 $x$ 。

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{3^{1}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.3.5

计算指数。

$\frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3.2.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 4.3.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

解题步骤 4.3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 2}{4}$

解题步骤 4.3.2.5

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{5}{4}$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1), (\frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

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