微积分学示例

$y = - x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 5$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $- 3 x^{2} - 8 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 3 x^{2} - 8 x - 3$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} - 8 x - 3$ 。

$- 3 x^{2} - 8 x - 3$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

解题步骤 2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3

将 $a = - 3$ 、 $b = - 8$ 和 $c = - 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 3)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 3 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.3

从 $64$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.4.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$

解题步骤 2.4.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{- 3}$

解题步骤 2.4.4

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 3 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $64$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{- 3}$

解题步骤 2.5.4

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.5.5

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 3 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $64$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $28$ 重写为 $2^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{- 3}$

解题步骤 2.6.4

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.6.5

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 2.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $- x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 5$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ 替换 $x$ 。

$- {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.2.1.1.1

对 $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ 运用乘积法则。

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{3}) - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.1.2

对 $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ 运用乘积法则。

$- ({(- 1)}^{3} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{3}$ 。

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

将 ${(- 1)}^{3}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

${(- 1)}^{4} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.6

使用二项式定理。

$\frac{4^{3} + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.7.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64 + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64 + 3 \cdot 16 \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.5

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.7.5.4.1

约去公因数。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.5.4.2

重写表达式。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{1} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.5.5

计算指数。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7 + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.6

将 $12$ 乘以 $7$ 。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.7

将 ${\sqrt{7}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{7^{3}}$ 。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{7^{3}}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.8

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{343}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.9

将 $343$ 重写为 $7^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.7.9.1

从 $343$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{49 (7)}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.9.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.7.10

从根式下提出各项。

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.8

将 $64$ 和 $84$ 相加。

$\frac{148 + 48 \sqrt{7} + 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.9

将 $48 \sqrt{7}$ 和 $7 \sqrt{7}$ 相加。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.10

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.2.1.10.1

对 $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2}) - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.10.2

对 $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.11

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 (1 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.12

将 $\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.13

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.14

将 ${(4 + \sqrt{7})}^{2}$ 重写为 $(4 + \sqrt{7}) (4 + \sqrt{7})$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{(4 + \sqrt{7}) (4 + \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.15

使用 FOIL 方法展开 $(4 + \sqrt{7}) (4 + \sqrt{7})$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.15.1

运用分配律。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 (4 + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (4 + \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.15.2

运用分配律。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} (4 + \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.15.3

运用分配律。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 4 + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.16

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.2.1.16.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.16.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 4 + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.16.1.2

将 $4$ 移到 $\sqrt{7}$ 的左侧。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.16.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7 \cdot 7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.16.1.4

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + \sqrt{49}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.16.1.5

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7^{2}}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.16.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + 7}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.16.2

将 $16$ 和 $7$ 相加。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.16.3

将 $4 \sqrt{7}$ 和 $4 \sqrt{7}$ 相加。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 + 8 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.17

组合 $- 4$ 和 $\frac{23 + 8 \sqrt{7}}{9}$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} + \frac{- 4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.18

将负号移到分数的前面。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.19

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.19.1

将 $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 3 \frac{- (4 + \sqrt{7})}{3} + 5$

解题步骤 4.1.2.1.19.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 3 (- 1) \frac{- (4 + \sqrt{7})}{3} + 5$

解题步骤 4.1.2.1.19.3

约去公因数。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{- (4 + \sqrt{7})}{3} + 5$

解题步骤 4.1.2.1.19.4

重写表达式。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 1 (- (4 + \sqrt{7})) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.20

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 1 (4 + \sqrt{7}) + 5$

解题步骤 4.1.2.1.21

将 $4 + \sqrt{7}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.2

要将 $- \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $\frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 4 (23 + 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.5.1

运用分配律。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} + (- 4 \cdot 23 - 4 (8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.5.2

将 $- 4$ 乘以 $23$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} + (- 92 - 4 (8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.5.3

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} + (- 92 - 32 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.5.4

运用分配律。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 92 \cdot 3 - 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.5.5

将 $- 92$ 乘以 $3$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 276 - 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.5.6

将 $3$ 乘以 $- 32$ 。

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 276 - 96 \sqrt{7}}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.5.7

从 $148$ 中减去 $276$ 。

$\frac{- 128 + 55 \sqrt{7} - 96 \sqrt{7}}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.5.8

从 $55 \sqrt{7}$ 中减去 $96 \sqrt{7}$ 。

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7}}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.6

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7}}{27} + 4 \cdot \frac{27}{27} + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.7

组合 $4$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27} + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.8.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7} + 4 \cdot 27}{27} + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7} + 108}{27} + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.8.3

将 $- 128$ 和 $108$ 相加。

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7}}{27} + \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.1.2.9

要将 $\sqrt{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7}}{27} + \sqrt{7} \cdot \frac{27}{27} + 5$

解题步骤 4.1.2.10

组合 $\sqrt{7}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{\sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

解题步骤 4.1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.11.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

解题步骤 4.1.2.11.2

重新排序 $\sqrt{7} \cdot 27$ 的因式。

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7} + 27 \sqrt{7}}{27} + 5$

解题步骤 4.1.2.12

将 $- 41 \sqrt{7}$ 和 $27 \sqrt{7}$ 相加。

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7}}{27} + 5$

解题步骤 4.1.2.13

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7}}{27} + 5 \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 4.1.2.14

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.14.1

组合 $5$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7}}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.1.2.14.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7} + 5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.1.2.15

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.15.1

将 $5$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7} + 135}{27}$

解题步骤 4.1.2.15.2

将 $- 20$ 和 $135$ 相加。

$\frac{115 - 14 \sqrt{7}}{27}$

解题步骤 4.2

在 $x = - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ 替换 $x$ 。

$- {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

对 $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ 运用乘积法则。

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{3}) - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

对 $\frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ 运用乘积法则。

$- ({(- 1)}^{3} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{3}$ 。

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

将 ${(- 1)}^{3}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

${(- 1)}^{4} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.6

使用二项式定理。

$\frac{4^{3} + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.7.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64 + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64 + 3 \cdot 16 (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$\frac{64 + 48 (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.4

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.6

对 $- \sqrt{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 (1 {\sqrt{7}}^{2}) + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.8

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 {\sqrt{7}}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.9

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.7.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.7.9.4.1

约去公因数。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.9.4.2

重写表达式。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{1} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.9.5

计算指数。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7 + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.10

将 $12$ 乘以 $7$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.11

对 $- \sqrt{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.13

将 ${\sqrt{7}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{7^{3}}$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{7^{3}}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.14

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{343}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.15

将 $343$ 重写为 $7^{2} \cdot 7$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.7.15.1

从 $343$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{49 (7)}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.15.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.16

从根式下提出各项。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - (7 \sqrt{7})}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.7.17

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.8

将 $64$ 和 $84$ 相加。

$\frac{148 - 48 \sqrt{7} - 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.9

从 $- 48 \sqrt{7}$ 中减去 $7 \sqrt{7}$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.10

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.2.1.10.1

对 $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2}) - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.10.2

对 $\frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.11

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 (1 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.12

将 $\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.13

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.14

将 ${(4 - \sqrt{7})}^{2}$ 重写为 $(4 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{(4 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.15

使用 FOIL 方法展开 $(4 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.15.1

运用分配律。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 (4 - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (4 - \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.15.2

运用分配律。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (4 - \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.15.3

运用分配律。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 4 - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.2.1.16.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.16.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 4 - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 4 - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.4

乘以 $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.16.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.4.2

将 $\sqrt{7}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.4.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.4.4

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.5

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.16.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.16.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{1}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.1.5.5

计算指数。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.2

将 $16$ 和 $7$ 相加。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.16.3

从 $- 4 \sqrt{7}$ 中减去 $4 \sqrt{7}$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 - 8 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.17

组合 $- 4$ 和 $\frac{23 - 8 \sqrt{7}}{9}$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} + \frac{- 4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.18

将负号移到分数的前面。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.19

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.19.1

将 $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 3 \frac{- (4 - \sqrt{7})}{3} + 5$

解题步骤 4.2.2.1.19.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 3 (- 1) \frac{- (4 - \sqrt{7})}{3} + 5$

解题步骤 4.2.2.1.19.3

约去公因数。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{- (4 - \sqrt{7})}{3} + 5$

解题步骤 4.2.2.1.19.4

重写表达式。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 1 (- (4 - \sqrt{7})) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.20

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 1 (4 - \sqrt{7}) + 5$

解题步骤 4.2.2.1.21

将 $4 - \sqrt{7}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.2

要将 $- \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将 $\frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 4 (23 - 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.5.1

运用分配律。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} + (- 4 \cdot 23 - 4 (- 8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.5.2

将 $- 4$ 乘以 $23$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} + (- 92 - 4 (- 8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.5.3

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} + (- 92 + 32 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.5.4

运用分配律。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 92 \cdot 3 + 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.5.5

将 $- 92$ 乘以 $3$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 276 + 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.5.6

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 276 + 96 \sqrt{7}}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.5.7

从 $148$ 中减去 $276$ 。

$\frac{- 128 - 55 \sqrt{7} + 96 \sqrt{7}}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.5.8

将 $- 55 \sqrt{7}$ 和 $96 \sqrt{7}$ 相加。

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7}}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.6

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7}}{27} + 4 \cdot \frac{27}{27} - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.7

组合 $4$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27} - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.8

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.8.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7} + 4 \cdot 27}{27} - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.8.2

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7} + 108}{27} - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.8.3

将 $- 128$ 和 $108$ 相加。

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7}}{27} - \sqrt{7} + 5$

解题步骤 4.2.2.9

要将 $- \sqrt{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7}}{27} - \sqrt{7} \cdot \frac{27}{27} + 5$

解题步骤 4.2.2.10

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.10.1

组合 $- \sqrt{7}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{- \sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

解题步骤 4.2.2.10.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

解题步骤 4.2.2.11

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.11.1

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7} - 27 \sqrt{7}}{27} + 5$

解题步骤 4.2.2.11.2

从 $41 \sqrt{7}$ 中减去 $27 \sqrt{7}$ 。

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7}}{27} + 5$

解题步骤 4.2.2.12

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7}}{27} + 5 \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 4.2.2.13

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.13.1

组合 $5$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7}}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.2.13.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7} + 5 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.2.14

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.14.1

将 $5$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7} + 135}{27}$

解题步骤 4.2.2.14.2

将 $- 20$ 和 $135$ 相加。

$\frac{115 + 14 \sqrt{7}}{27}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{115 - 14 \sqrt{7}}{27}), (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{115 + 14 \sqrt{7}}{27})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例