微积分学示例

$y = x^{2} - 8 \ln (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 8 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$2 x + \frac{- 8}{x}$

解题步骤 1.1.2.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - \frac{8}{x}$ 。

$2 x - \frac{8}{x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - \frac{8}{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 2.3

将 $2 x - \frac{8}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x - \frac{8}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

将 $- \frac{8}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$2 x^{2} = 8$

解题步骤 2.4.2

将 $2 x^{2} = 8$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $2 x^{2} = 8$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{8}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.3.1

用 $8$ 除以 $2$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 2.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 2.4.4

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 2.4.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 2.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 2.4.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 2.4.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{8}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{2} - 8 \ln (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

解题步骤 4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 - 8 \ln (2)$

解题步骤 4.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 8 \ln (2)$ 。

$4 - \ln (2^{8})$

解题步骤 4.1.2.3

对 $2$ 进行 $8$ 次方运算。

$4 - \ln (256)$

解题步骤 4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

${(- 2)}^{2} - 8 \ln (- 2)$

解题步骤 4.2.2

负数的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 4.3

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} - 8 \ln (0)$

解题步骤 4.3.2

零的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(2, 4 - \ln (256))$

解题步骤 5

微积分学 示例

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