微积分学示例

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x + \sqrt{1 - x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x}$ 重写成 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.1.2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.9

在公分母上合并分子。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.11

将负号移到分数的前面。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

解题步骤 1.1.2.13

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

解题步骤 1.1.2.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

解题步骤 1.1.2.15

组合 $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 1$ 。

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

解题步骤 1.1.2.16

将 $- 1$ 移到 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.2.17

将 $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 重写为 $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.2.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.19

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

解题步骤 2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}, 1$

解题步骤 2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4

将 $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ 中的每一项乘以 $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ 中的每一项乘以 $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5

求解方程。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ 。

$- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

解题步骤 2.5.2

将 $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.5.2.2.2

用 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.3

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 2.5.4

化简指数。

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解题步骤 2.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.4.1.1

化简 ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1

将 ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - x)}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 2.5.4.1.1.2

化简。

$1 - x = {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 2.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.4.2.1

化简 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.2.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$1 - x = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 2.5.4.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 - x = \frac{1}{2^{2}}$

解题步骤 2.5.4.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - x = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.5.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.5.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.5.5.1.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = \frac{1}{4} - 1$

解题步骤 2.5.5.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- x = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.5.5.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- x = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.5.5.1.4

在公分母上合并分子。

$- x = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.5.5.1.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.5.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- x = \frac{1 - 4}{4}$

解题步骤 2.5.5.1.5.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- x = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.5.5.1.6

将负号移到分数的前面。

$- x = - \frac{3}{4}$

解题步骤 2.5.5.2

将 $- x = - \frac{3}{4}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.5.2.1

将 $- x = - \frac{3}{4}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

解题步骤 2.5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

解题步骤 2.5.5.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

解题步骤 2.5.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.5.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

解题步骤 2.5.5.2.3.2

用 $\frac{3}{4}$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{4}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{{(1 - x)}^{1}}}$

解题步骤 3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{1 - x} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{1 - x})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x}$ 重写成 ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

对 $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3

将 ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(1 - x)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.4

化简。

$4 (1 - x) = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.5

运用分配律。

$4 \cdot 1 + 4 (- x) = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.6

乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.6.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4 (- x) = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$4 - 4 x = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 - 4 x = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- 4 x = - 4$

解题步骤 3.3.3.2

将 $- 4 x = - 4$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $- 4 x = - 4$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

解题步骤 3.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

解题步骤 3.3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{- 4}$

解题步骤 3.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 4$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.4

将 $\sqrt{1 - x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 - x < 0$

解题步骤 3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$- x < - 1$

解题步骤 3.5.2

将 $- x < - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- x < - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.5.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x > \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x > 1$

解题步骤 3.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x + \sqrt{1 - x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{3}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{3}{4}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{3}{4}) + \sqrt{1 - (\frac{3}{4})}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4 - 3}{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.3

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.6

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 4.1.2.1.6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4.1.2.2

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

解题步骤 4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 2}{4}$

解题步骤 4.1.2.5

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{5}{4}$

解题步骤 4.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$(1) + \sqrt{1 - (1)}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + \sqrt{1 - 1}$

解题步骤 4.2.2.1.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$1 + \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$1 + \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$1 + 0$

解题步骤 4.2.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{3}{4}, \frac{5}{4}), (1, 1)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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