微积分学示例

$y = 2 x - \tan (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.1.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 - \sec^{2} (x)$ 。

$2 - \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 - \sec^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- \sec^{2} (x) = - 2$

解题步骤 2.3

将 $- \sec^{2} (x) = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- \sec^{2} (x) = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.3.2.2

用 $\sec^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$\sec^{2} (x) = 2$

解题步骤 2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 2.7

在 $\sec (x) = \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (\sqrt{2})$

解题步骤 2.7.2

化简右边。

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解题步骤 2.7.2.1

$arcsec (\sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.7.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.7.4

化简 $2 π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 2.7.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.7.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.7.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 2.7.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.7.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 2.7.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 2.7.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.7.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.8

在 $\sec (x) = - \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

解题步骤 2.8.2

化简右边。

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解题步骤 2.8.2.1

$arcsec (- \sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.8.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.8.4

化简 $2 π - \frac{3 π}{4}$ 。

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解题步骤 2.8.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.8.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.8.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.8.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 2.8.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.8.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

解题步骤 2.8.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 2.8.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.8.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.10

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\sec (x)$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 x - \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{π}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.2.1.2

约去公因数。

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.2.1.3

重写表达式。

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.1.2.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π}{2} - 1$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{3 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去公因数。

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.2.2.1.3

重写表达式。

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 4.2.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.2.2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.2.2.4

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.2.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 π}{2} - - 1$

解题步骤 4.2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 π}{2} + 1$

解题步骤 4.3

在 $x = \frac{5 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{5 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 4.3.2.1.2

约去公因数。

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 4.3.2.1.3

重写表达式。

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 4.3.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.3.2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 π}{2} - 1$

解题步骤 4.4

在 $x = \frac{7 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.4.1

代入 $\frac{7 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 4.4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 4.4.2.1.2

约去公因数。

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 4.4.2.1.3

重写表达式。

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 4.4.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.4.2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.4.2.4

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.4.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 π}{2} - - 1$

解题步骤 4.4.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 π}{2} + 1$

解题步骤 4.5

在 $x = \frac{9 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 4.5.1

代入 $\frac{9 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

解题步骤 4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

解题步骤 4.5.2.1.2

约去公因数。

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

解题步骤 4.5.2.1.3

重写表达式。

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

解题步骤 4.5.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

解题步骤 4.5.2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.5.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 π}{2} - 1$

解题步骤 4.6

列出所有的点。

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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