微积分学示例

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x - 4 \ln (3 x - 9)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \ln (3 x - 9)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ 。

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x - 9$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 9$ 。

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

解题步骤 1.1.2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $3 x - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $3 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

解题步骤 1.1.2.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

解题步骤 1.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

解题步骤 1.1.2.6

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

解题步骤 1.1.2.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

解题步骤 1.1.2.8

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

解题步骤 1.1.2.9

组合 $\frac{1}{3 x - 9}$ 和 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

解题步骤 1.1.2.10

约去 $3$ 和 $3 x - 9$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.10.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

解题步骤 1.1.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.10.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

解题步骤 1.1.2.10.2.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

解题步骤 1.1.2.10.2.3

从 $3 (x) + 3 (- 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

解题步骤 1.1.2.10.2.4

约去公因数。

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

解题步骤 1.1.2.10.2.5

重写表达式。

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

解题步骤 1.1.2.11

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x - 3}$ 。

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

解题步骤 1.1.2.12

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{4}{x - 3}$

解题步骤 1.1.3

合并项。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

解题步骤 1.1.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

解题步骤 1.1.3.3

从 $- 3$ 中减去 $4$ 。

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x - 7}{x - 3}$ 。

$\frac{x - 7}{x - 3}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$x - 7 = 0$

解题步骤 2.3

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x - 7}{x - 3}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x - 4 \ln (3 x - 9)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 7$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $7$ 替换 $x$ 。

$(7) - 4 \ln (3 (7) - 9)$

解题步骤 4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$7 - 4 \ln (21 - 9)$

解题步骤 4.1.2.2

从 $21$ 中减去 $9$ 。

$7 - 4 \ln (12)$

解题步骤 4.1.2.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (12)$ 。

$7 - \ln (12^{4})$

解题步骤 4.1.2.4

对 $12$ 进行 $4$ 次方运算。

$7 - \ln (20736)$

解题步骤 4.2

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$(3) - 4 \ln (3 (3) - 9)$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$3 - 4 \ln (9 - 9)$

解题步骤 4.2.2.1.2

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$3 - 4 \ln (0)$

解题步骤 4.2.2.1.3

零的自然对数无定义。

无定义

$3 - 4 \ln (0)$

解题步骤 4.2.2.2

零的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(7, 7 - \ln (20736))$

解题步骤 5

微积分学 示例

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