微积分学示例

$y = x \ln (x + 3)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x + 3)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

组合 $\frac{1}{x + 3}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $\frac{x}{x + 3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.7

将 $\ln (x + 3)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

解题步骤 1.1.4

要将 $\ln (x + 3)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

解题步骤 1.1.6.1.1.2

乘以 $\ln (x + 3) \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.1.6.1.1.2.1

将 $\ln (x + 3)$ 和 $3$ 重新排序。

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

解题步骤 1.1.6.1.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \cdot \ln (x + 3)$ 。

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

解题步骤 1.1.6.1.2

将 $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ 中的因式重新排序。

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

解题步骤 1.1.6.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ 。

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

解题步骤 2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 1.14544928$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 3.3

将 $\ln (x + 3)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 3 \leq 0$

解题步骤 3.4

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$x \leq - 3$

解题步骤 3.5

将 $\ln ({(x + 3)}^{3})$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

解题步骤 3.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.6.2

化简方程。

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解题步骤 3.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1.1

从根式下提出各项。

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 3.6.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 3.6.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x + 3 \leq 0$

解题步骤 3.6.3

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$x \leq - 3$

解题步骤 3.7

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x \ln (x + 3)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 1.14544928$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 1.14544928$ 替换 $x$ 。

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1.14544928$ 和 $3$ 相加。

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

解题步骤 4.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ 。

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

解题步骤 4.1.2.3

对 $1.85455071$ 进行 $1.14544928$ 次方运算。

$- \ln (2.02886823)$

解题步骤 4.2

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$- 3 \ln (0)$

解题步骤 4.2.2.2

零的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

解题步骤 5

微积分学 示例

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