微积分学示例

$f (x) = (4 - t^{2}) (1 + 5 t^{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $(4 - t^{2}) (1 + 5 t^{2})$ 对于 $x$ 是常数，所以 $(4 - t^{2}) (1 + 5 t^{2})$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 0$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $0$ 。

$0$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $0 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$0 = 0$

解题步骤 2.2

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

总为真

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

不存在使导数 $f' (x) = 0$ 等于 $0$ 或未定义的点。检查函数 $f (x) = (4 - t^{2}) (1 + 5 t^{2})$ 的为递增还是递减的区间为 $(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将任意数（例如，从区间 $(- \infty, \infty)$ 中的 $1$ ）代入导数 $f' (x) = 0$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 0$

解题步骤 5.2

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6

将 $1$ 代入 $f' (x) = 0$ 得到的结果为 $0$ ，因为是正数，所以其图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 递增。

因为 $0 > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增意味着该函数恒为递增。

总是递增

解题步骤 8

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