微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 45 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} - 45 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 45 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 45 x)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 45 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 45$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 45 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 45 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 45 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 45 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 45$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 45$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 6 x - 45$ 。

$3 x^{2} - 6 x - 45$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 6 x - 45 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x - 45 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 x^{2} - 6 x - 45$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 6 x - 45 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) - 45 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 45$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 5) (x + 3)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 5) (x + 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $3 (x - 5) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 3$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $5, - 3$ 。

$5, - 3$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 5) \cup (5, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 6 \cdot - 4 - 45$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot - 4 - 45$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 4) = 48 - 6 \cdot - 4 - 45$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = 48 + 24 - 45$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $48$ 和 $24$ 相加。

$f' (- 4) = 72 - 45$

解题步骤 5.2.2.2

从 $72$ 中减去 $45$ 。

$f' (- 4) = 27$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $27$ 。

$27$

解题步骤 5.3

在 $x = - 4$ 处，导数为 $27$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 3)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 3)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 3, 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 45$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 45$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 - 45$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 3 - 6 - 45$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $3$ 中减去 $6$ 。

$f' (1) = - 3 - 45$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 3$ 中减去 $45$ 。

$f' (1) = - 48$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 48$ 。

$- 48$

解题步骤 6.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- 48$ 。由于其值为负，函数在 $(- 3, 5)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 3, 5)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(5, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 6 \cdot 6 - 45$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 6 \cdot 6 - 45$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$f' (6) = 108 - 6 \cdot 6 - 45$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $6$ 。

$f' (6) = 108 - 36 - 45$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $108$ 中减去 $36$ 。

$f' (6) = 72 - 45$

解题步骤 7.2.2.2

从 $72$ 中减去 $45$ 。

$f' (6) = 27$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $27$ 。

$27$

解题步骤 7.3

在 $x = 6$ 处，导数为 $27$ 。由于其值为正，函数在 $(5, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(5, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 3), (5, \infty)$

递减于： $(- 3, 5)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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