微积分学示例

$f (x) = x^{3} + 3 x + 5$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 3 + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $3 x^{2} + 3$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} + 3$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 3$ 。

$3 x^{2} + 3$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$3 x^{2} = - 3$

解题步骤 2.3

将 $3 x^{2} = - 3$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 x^{2} = - 3$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $- 3$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.5

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

不存在使导数 $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ 等于 $0$ 或未定义的点。检查函数 $f (x) = x^{3} + 3 x + 5$ 的为递增还是递减的区间为 $(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将任意数（例如，从区间 $(- \infty, \infty)$ 中的 $1$ ）代入导数 $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 3$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 3$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 3 + 3$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$f' (1) = 6$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 6

将 $1$ 代入 $f' (x) = 3 x^{2} + 3$ 得到的结果为 $6$ ，因为是正数，所以其图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 递增。

因为 $3 x^{2} + 3 > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增意味着该函数恒为递增。

总是递增

解题步骤 8

微积分学 示例

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