微积分学示例

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

解题步骤 1.1.3.6

将 $2$ 移到 ${(x + 3)}^{3}$ 的左侧。

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

从 $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(x + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.1

从 $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ 中分解出因数 $x {(x + 3)}^{2}$ 。

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

解题步骤 1.1.4.1.2

从 $2 {(x + 3)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(x + 3)}^{2}$ 。

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.1.3

从 $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ 中分解出因数 $x {(x + 3)}^{2}$ 。

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.3

将 ${(x + 3)}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x + 3)$ 。

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 3)$ 。

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解题步骤 1.1.4.4.1

运用分配律。

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.4.2

运用分配律。

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.4.3

运用分配律。

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.5.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.5.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.5.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.6

运用分配律。

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.7

化简。

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解题步骤 1.1.4.7.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.7.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.7.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.7.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.7.3

将 $9$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.8.1

移动 $x$ 。

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

解题步骤 1.1.4.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.9.1

运用分配律。

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

解题步骤 1.1.4.9.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

解题步骤 1.1.4.10

将 $3 x$ 和 $2 x$ 相加。

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

解题步骤 1.1.4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ 。

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.2.1

移动 $x$ 。

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.3

将 $6$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.4

使用乘法的交换性质重写。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.5.1

移动 $x$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.6

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.7

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.8

使用乘法的交换性质重写。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.9.1

移动 $x$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.9.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.10

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

解题步骤 1.1.4.12.11

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

解题步骤 1.1.4.13

将 $6 x^{3}$ 和 $30 x^{3}$ 相加。

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

解题步骤 1.1.4.14

将 $36 x^{2}$ 和 $45 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ 。

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $36 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $81 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $54 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

解题步骤 2.2.1.6

从 $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

解题步骤 2.2.1.7

从 $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

解题步骤 2.2.2

使用有理根检验法因式分解 $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

解题步骤 2.2.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

解题步骤 2.2.2.3

代入 $- 3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将 $- 3$ 代入多项式。

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

解题步骤 2.2.2.3.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

解题步骤 2.2.2.3.3

将 $5$ 乘以 $- 27$ 。

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

解题步骤 2.2.2.3.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

解题步骤 2.2.2.3.5

将 $36$ 乘以 $9$ 。

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

解题步骤 2.2.2.3.6

将 $- 135$ 和 $324$ 相加。

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

解题步骤 2.2.2.3.7

将 $81$ 乘以 $- 3$ 。

$189 - 243 + 54$

解题步骤 2.2.2.3.8

从 $189$ 中减去 $243$ 。

$- 54 + 54$

解题步骤 2.2.2.3.9

将 $- 54$ 和 $54$ 相加。

$0$

解题步骤 2.2.2.4

因为 $- 3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

解题步骤 2.2.2.5

用 $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ 除以 $x + 3$ 。

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解题步骤 2.2.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

解题步骤 2.2.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $5 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

解题步骤 2.2.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{3} + 15 x^{2}$ 中的所有符号

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

解题步骤 2.2.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $21 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

解题步骤 2.2.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

解题步骤 2.2.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $21 x^{2} + 63 x$ 中的所有符号

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

解题步骤 2.2.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

解题步骤 2.2.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

解题步骤 2.2.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $18 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

解题步骤 2.2.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

解题步骤 2.2.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $18 x + 54$ 中的所有符号

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

解题步骤 2.2.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

解题步骤 2.2.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$5 x^{2} + 21 x + 18$

解题步骤 2.2.2.6

将 $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ 书写为因数的集合。

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

解题步骤 2.2.3

因数。

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解题步骤 2.2.3.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.3.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ 并且它们的和为 $b = 21$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1.1

从 $21 x$ 中分解出因数 $21$ 。

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.2

把 $21$ 重写为 $6$ 加 $15$

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.3

运用分配律。

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.3.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $5 x + 6$ 来因式分解多项式。

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.2

去掉多余的括号。

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

去掉多余的括号。

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.4

合并指数。

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解题步骤 2.2.4.1

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

解题步骤 2.2.4.2

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

解题步骤 2.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

解题步骤 2.2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 ${(x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 ${(x + 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

将 $5 x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $5 x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$5 x + 6 = 0$

解题步骤 2.6.2

求解 $x$ 的 $5 x + 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$5 x = - 6$

解题步骤 2.6.2.2

将 $5 x = - 6$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 2.6.2.2.1

将 $5 x = - 6$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

解题步骤 2.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

解题步骤 2.6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 6}{5}$

解题步骤 2.6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{6}{5}$

解题步骤 2.7

最终解为使 $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, - 3, - \frac{6}{5}$ 。

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $5$ 乘以 $256$ 。

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

解题步骤 5.2.1.4

将 $36$ 乘以 $- 64$ 。

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

解题步骤 5.2.1.5

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

解题步骤 5.2.1.6

将 $81$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

解题步骤 5.2.1.7

将 $54$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $1280$ 中减去 $2304$ 。

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 1024$ 和 $1296$ 相加。

$f' (- 4) = 272 - 216$

解题步骤 5.2.2.3

从 $272$ 中减去 $216$ 。

$f' (- 4) = 56$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $56$ 。

$56$

解题步骤 5.3

在 $x = - 4$ 处，导数为 $56$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 3)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 3)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 3, - \frac{6}{5})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 2.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $5$ 乘以 $19.4481$ 。

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 2.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

解题步骤 6.2.1.4

将 $36$ 乘以 $- 9.261$ 。

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

解题步骤 6.2.1.5

对 $- 2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

解题步骤 6.2.1.6

将 $81$ 乘以 $4.41$ 。

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

解题步骤 6.2.1.7

将 $54$ 乘以 $- 2.1$ 。

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $97.2405$ 中减去 $333.396$ 。

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 236.1555$ 和 $357.21$ 相加。

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

解题步骤 6.2.2.3

从 $121.0545$ 中减去 $113.4$ 。

$f' (- 2.1) = 7.6545$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $7.6545$ 。

$7.6545$

解题步骤 6.3

在 $x = - 2.1$ 处，导数为 $7.6545$ 。由于其值为正，函数在 $(- 3, - \frac{6}{5})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 3, - \frac{6}{5})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 1.2, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 0.6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 0.6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

解题步骤 7.2.1.2

将 $5$ 乘以 $0.1296$ 。

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

解题步骤 7.2.1.3

对 $- 0.6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

解题步骤 7.2.1.4

将 $36$ 乘以 $- 0.216$ 。

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

解题步骤 7.2.1.5

对 $- 0.6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

解题步骤 7.2.1.6

将 $81$ 乘以 $0.36$ 。

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

解题步骤 7.2.1.7

将 $54$ 乘以 $- 0.6$ 。

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $0.648$ 中减去 $7.776$ 。

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 7.128$ 和 $29.16$ 相加。

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

解题步骤 7.2.2.3

从 $22.032$ 中减去 $32.4$ 。

$f' (- 0.6) = - 10.368$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 10.368$ 。

$- 10.368$

解题步骤 7.3

在 $x = - 0.6$ 处，导数为 $- 10.368$ 。由于其值为负，函数在 $(- 1.2, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{6}{5}, 0)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

解题步骤 8.2.1.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

解题步骤 8.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

解题步骤 8.2.1.4

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

解题步骤 8.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

解题步骤 8.2.1.6

将 $81$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

解题步骤 8.2.1.7

将 $54$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

解题步骤 8.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $5$ 和 $36$ 相加。

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

解题步骤 8.2.2.2

将 $41$ 和 $81$ 相加。

$f' (1) = 122 + 54$

解题步骤 8.2.2.3

将 $122$ 和 $54$ 相加。

$f' (1) = 176$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $176$ 。

$176$

解题步骤 8.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $176$ 。由于其值为正，函数在 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

递减于： $(- \frac{6}{5}, 0)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例