微积分学示例

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.6

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.10

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.11

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.12

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 1.1.2.13

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 2 x^{- 3}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.1.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ 。

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{3}, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{3}$

解题步骤 2.3

将 $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 。

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.1.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

约去公因数。

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{3}$ 。

$2 x^{4} + 2 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$2 x^{4} = - 2$

解题步骤 2.4.2

将 $2 x^{4} = - 2$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $2 x^{4} = - 2$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$x^{4} = - 1$

解题步骤 2.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 2.4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 2.4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 2.4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

解题步骤 2.5

排除不能使 $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{2}{x^{3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

解题步骤 6.2.1.3

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - 2 - 2$

解题步骤 6.2.2

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 1) = - 4$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $- 4$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

解题步骤 7.2.1.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f' (1) = 2 + 2$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f' (1) = 4$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $4$ 。

$4$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $4$ 。由于其值为正，函数在 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(0, \infty)$

递减于： $(- \infty, 0)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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