微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 5}$ 重写成 ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 5$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x^{2} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

解题步骤 1.1.8

根据加法法则， $x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 1.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (5))$

解题步骤 1.1.10

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

解题步骤 1.1.11

化简项。

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解题步骤 1.1.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

解题步骤 1.1.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

解题步骤 1.1.11.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.11.4

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.11.5

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分母。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$f' (- 1) = \frac{- 1}{6^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (- 1) = - \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$f' (1) = \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ 。由于其值为正，函数在 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(0, \infty)$

递减于： $(- \infty, 0)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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