微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 80}{x - 9}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 80$ 且 $g (x) = x - 9$ 。

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 80] - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 80$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]$ 。

$\frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 80$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 80$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 9) (2 x + 0) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 9) (2 x) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $2$ 移到 $x - 9$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 80$ 。

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 18 x + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 18 x + 80$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $80$ ，和为 $- 18$ 。

$- 10, - 8$

解题步骤 1.1.3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$f' (x) = \frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ 。

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$(x - 10) (x - 8) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

$x - 8 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$x = 10$

解题步骤 2.3.3

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $(x - 10) (x - 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 10, 8$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $10, 8$ 。

$10, 8$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 9)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 8) \cup (8, 9) \cup (9, 10) \cup (10, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 8)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = \frac{((7) - 10) ((7) - 8)}{{((7) - 9)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $7$ 中减去 $10$ 。

$f' (7) = \frac{- 3 (7 - 8)}{{(7 - 9)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

从 $7$ 中减去 $8$ 。

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(7 - 9)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $7$ 中减去 $9$ 。

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

解题步骤 6.2.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (7) = \frac{3}{4}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 6.3

在 $x = 7$ 处，导数为 $\frac{3}{4}$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 8)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 8)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(8, 9)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{17}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 10) ((\frac{17}{2}) - 8)}{{((\frac{17}{2}) - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

要将 $- 10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.4.1

将 $- 10$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 20}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4.2

从 $17$ 中减去 $20$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.7

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.8

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.9

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.9.1

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 16}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.9.2

从 $17$ 中减去 $16$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.10

合并指数。

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解题步骤 7.2.1.10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

要将 $- 9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.4.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 18}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4.2

从 $17$ 中减去 $18$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.5

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.6

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.8

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 7.2.2.9

一的任意次幂都为一。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

解题步骤 7.2.2.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 7.2.2.11

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 7.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

解题步骤 7.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

解题步骤 7.2.4.2

约去公因数。

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

解题步骤 7.2.4.3

重写表达式。

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 7.3

在 $x = \frac{17}{2}$ 处，导数为 $- 3$ 。由于其值为负，函数在 $(8, 9)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(8, 9)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(9, 10)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $\frac{19}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{((\frac{19}{2}) - 10) ((\frac{19}{2}) - 8)}{{((\frac{19}{2}) - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

要将 $- 10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.4.1

将 $- 10$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 20}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.4.2

从 $19$ 中减去 $20$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.6

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.7

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.9

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.9.1

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 16}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.9.2

从 $19$ 中减去 $16$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.10

合并指数。

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解题步骤 8.2.1.10.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

要将 $- 9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.4.1

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 18}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4.2

从 $19$ 中减去 $18$ 。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.5

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.6

一的任意次幂都为一。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 8.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f' (\frac{19}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

解题步骤 8.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

解题步骤 8.2.4.2

约去公因数。

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

解题步骤 8.2.4.3

重写表达式。

$f' (\frac{19}{2}) = - 3$

解题步骤 8.2.5

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 8.3

在 $x = \frac{19}{2}$ 处，导数为 $- 3$ 。由于其值为负，函数在 $(9, 10)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(9, 10)$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(10, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $11$ 替换变量 $x$ 。

$f' (11) = \frac{((11) - 10) ((11) - 8)}{{((11) - 9)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简分子。

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解题步骤 9.2.1.1

从 $11$ 中减去 $10$ 。

$f' (11) = \frac{1 (11 - 8)}{{(11 - 9)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $11 - 8$ 乘以 $1$ 。

$f' (11) = \frac{11 - 8}{{(11 - 9)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.3

从 $11$ 中减去 $8$ 。

$f' (11) = \frac{3}{{(11 - 9)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $11$ 中减去 $9$ 。

$f' (11) = \frac{3}{2^{2}}$

解题步骤 9.2.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (11) = \frac{3}{4}$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 9.3

在 $x = 11$ 处，导数为 $\frac{3}{4}$ 。由于其值为正，函数在 $(10, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(10, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 8), (10, \infty)$

递减于： $(8, 9), (9, 10)$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例