微积分学示例

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.6

合并分数。

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解题步骤 1.1.6.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

解题步骤 1.1.7

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.1.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 1.1.10

化简表达式。

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解题步骤 1.1.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.10.2

将 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 4.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

解题步骤 4.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x - 1} = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简 ${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

对 $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3

将 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 {(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.4

化简。

$27 (x - 1) = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.5

运用分配律。

$27 x + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.6

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$27 x - 27 = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x - 27 = 0$

解题步骤 4.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

在等式两边都加上 $27$ 。

$27 x = 27$

解题步骤 4.3.3.2

将 $27 x = 27$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $27 x = 27$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

解题步骤 4.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

解题步骤 4.3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{27}{27}$

解题步骤 4.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.2.3.1

用 $27$ 除以 $27$ 。

$x = 1$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ 。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \frac{2}{3 {((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f' (0) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 6.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.4.1

约去公因数。

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 6.2.1.4.2

重写表达式。

$f' (0) = \frac{2}{3 (- 1)}$

解题步骤 6.2.1.5

计算指数。

$f' (0) = \frac{2}{3 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (0) = \frac{2}{- 3}$

解题步骤 6.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (0) = - \frac{2}{3}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{2}{3}$ 。

$- \frac{2}{3}$

解题步骤 6.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $- \frac{2}{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{2}{3 {((2) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (2) = \frac{2}{3}$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 7.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $\frac{2}{3}$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(1, \infty)$

递减于： $(- \infty, 1)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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