微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{x^{2} - 4}$ 重写为 ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.1.5

合并项。

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解题步骤 1.1.5.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.1.5.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.5.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 x = 0$

解题步骤 2.3

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.3

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.2.3.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4.2.4

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 4.2.4.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 4.2.5

最终解为使 ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2$

解题步骤 4.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{6}{25}$ 。

$\frac{6}{25}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 3$ 处，导数为 $\frac{6}{25}$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 2, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

解题步骤 7.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $\frac{2}{9}$ 。

$\frac{2}{9}$

解题步骤 7.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $\frac{2}{9}$ 。由于其值为正，函数在 $(- 2, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 2, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- \frac{2}{9}$ 。

$- \frac{2}{9}$

解题步骤 8.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- \frac{2}{9}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 2)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 2)$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.2

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

解题步骤 9.2.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $- \frac{6}{25}$ 。

$- \frac{6}{25}$

解题步骤 9.3

在 $x = 3$ 处，导数为 $- \frac{6}{25}$ 。由于其值为负，函数在 $(2, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(2, \infty)$ 上递减

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

递减于： $(0, 2), (2, \infty)$

解题步骤 11

微积分学 示例

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