微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} - 1$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{2} - 1$ 。

$x^{2} - 1$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $1, - 1$ 。

$1, - 1$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = {(- 2)}^{2} - 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = 4 - 1$

解题步骤 5.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f' (- 2) = 3$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 5.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $3$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 1, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = {(0)}^{2} - 1$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 1$

解题步骤 6.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f' (0) = - 1$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $- 1$ 。由于其值为负，函数在 $(- 1, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1, 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = {(2)}^{2} - 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 4 - 1$

解题步骤 7.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f' (2) = 3$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 7.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $3$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

递减于： $(- 1, 1)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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