微积分学示例

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + x^{2}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $2$ 移到 $1 - x^{2}$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((1 - x^{2}) x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.10

乘。

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解题步骤 1.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.10.2

将 $1 + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.12

将 $2$ 移到 $1 + x^{2}$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2

合并 $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.3.5.2.1

将 $- 2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2.2

将 $2 x + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.3

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

重新排序项。

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

化简分母。

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解题步骤 1.1.3.7.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7.2

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f' (x) = \frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7.4

对 $(1 + x) (1 - x)$ 运用乘积法则。

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ 。

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$4 x = 0$

解题步骤 2.3

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(1 + x)}^{2} = 0$

${(1 - x)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2

将 ${(1 + x)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 ${(1 + x)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(1 + x)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2.2

求解 $x$ 的 ${(1 + x)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $1 + x$ 设为等于 $0$ 。

$1 + x = 0$

解题步骤 4.2.2.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4.2.3

将 ${(1 - x)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 ${(1 - x)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(1 - x)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(1 - x)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 。

$1 - x = 0$

解题步骤 4.2.3.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = - 1$

解题步骤 4.2.3.2.2.2

将 $- x = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.2.3.2.2.2.1

将 $- x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.2.3.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.3.2.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.2.3.2.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.2.3.2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.2.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4.2.4

最终解为使 ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

解题步骤 4.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 1, x = 1$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1.1

去掉圆括号。

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 + 2)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 3^{2}}$

解题步骤 6.2.2.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

解题步骤 6.2.2.6

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 8}{9}$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 2) = - \frac{8}{9}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- \frac{8}{9}$ 。

$- \frac{8}{9}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $- \frac{8}{9}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 1, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3

化简分母。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2 - 1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.4

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.5

乘以 $- - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 7.2.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.7

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 + 1}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.8

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.3.9

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.3.10

一的任意次幂都为一。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.3.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.3.12

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.3.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

解题步骤 7.2.4

合并分数。

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解题步骤 7.2.4.1

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{9}{4}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 7.2.4.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

解题步骤 7.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{16}{9})$

解题步骤 7.2.6

乘以 $- 2 (\frac{16}{9})$ 。

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解题步骤 7.2.6.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{16}{9}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

解题步骤 7.2.6.2

将 $- 2$ 乘以 $16$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32}{9}$

解题步骤 7.2.7

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

解题步骤 7.2.8

最终答案为 $- \frac{32}{9}$ 。

$- \frac{32}{9}$

解题步骤 7.3

在 $x = - \frac{1}{2}$ 处，导数为 $- \frac{32}{9}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 1, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1, 0)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(0, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

合并分数。

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解题步骤 8.2.1.1

去掉圆括号。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2 + 1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.6

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 - 1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.7

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.8

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.11

一的任意次幂都为一。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

解题步骤 8.2.3

合并分数。

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解题步骤 8.2.3.1

用 $4$ 除以 $2$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 8.2.3.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{16}}$

解题步骤 8.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{16}{9})$

解题步骤 8.2.5

乘以 $2 (\frac{16}{9})$ 。

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解题步骤 8.2.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{16}{9}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{9}$

解题步骤 8.2.5.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

解题步骤 8.2.6

最终答案为 $\frac{32}{9}$ 。

$\frac{32}{9}$

解题步骤 8.3

在 $x = \frac{1}{2}$ 处，导数为 $\frac{32}{9}$ 。由于其值为正，函数在 $(0, 1)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, 1)$ 上递增

解题步骤 9

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简表达式。

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解题步骤 9.2.1.1

去掉圆括号。

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = \frac{8}{9 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f' (2) = \frac{8}{9}$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $\frac{8}{9}$ 。

$\frac{8}{9}$

解题步骤 9.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $\frac{8}{9}$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(0, 1), (1, \infty)$

递减于： $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例