微积分学示例

$f (x) = \frac{- 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}]$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

解题步骤 1.1.1.3

将 $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ 重写为 ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 2 x - 3$ 。

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x^{2} - 2 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$4 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 2 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 1.1.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 1.1.3.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 1.1.3.7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

解题步骤 1.1.3.8

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

解题步骤 1.1.5.2

重新排序 $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ 的因式。

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$ 。

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 2 = 0$

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.3

将 $2 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $2 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$2 x = 2$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2 x = 2$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $2 x = 2$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.3.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.4

将 $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

将分子设为等于零。

$4 = 0$

解题步骤 2.4.2.2

因为 $4 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2.5

最终解为使 $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 4.2.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2

对 $(x - 3) (x + 1)$ 运用乘积法则。

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3

将 ${(x - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 4.2.3.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 4.2.4

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.2.4.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4.2.5

最终解为使 ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 1$

解题步骤 4.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 1, x = 3$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 + 4 - 3)}^{2}})$

解题步骤 6.2.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

解题步骤 6.2.1.4

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

解题步骤 6.2.1.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{25})$

解题步骤 6.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = (- 4 - 2) (\frac{4}{25})$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 4$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 2) = - 6 (\frac{4}{25})$

解题步骤 6.2.3

乘以 $- 6 (\frac{4}{25})$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{4}{25}$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4}{25}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 24}{25}$

解题步骤 6.2.4

将负号移到分数的前面。

$f' (- 2) = - \frac{24}{25}$

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $- \frac{24}{25}$ 。

$- \frac{24}{25}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $- \frac{24}{25}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 1, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 + 0 - 3)}^{2}})$

解题步骤 7.2.1.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

解题步骤 7.2.1.4

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

解题步骤 7.2.1.5

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{9})$

解题步骤 7.2.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = (0 - 2) (\frac{4}{9})$

解题步骤 7.2.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f' (0) = - 2 (\frac{4}{9})$

解题步骤 7.2.3

乘以 $- 2 (\frac{4}{9})$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{4}{9}$ 。

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f' (0) = \frac{- 8}{9}$

解题步骤 7.2.4

将负号移到分数的前面。

$f' (0) = - \frac{8}{9}$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $- \frac{8}{9}$ 。

$- \frac{8}{9}$

解题步骤 7.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $- \frac{8}{9}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 1, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1, 1)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(1, 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分母。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 4 - 3)}^{2}})$

解题步骤 8.2.1.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

解题步骤 8.2.1.4

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

解题步骤 8.2.1.5

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{9})$

解题步骤 8.2.2

化简表达式。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = (4 - 2) (\frac{4}{9})$

解题步骤 8.2.2.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f' (2) = 2 (\frac{4}{9})$

解题步骤 8.2.3

乘以 $2 (\frac{4}{9})$ 。

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解题步骤 8.2.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{4}{9}$ 。

$f' (2) = \frac{2 \cdot 4}{9}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = \frac{8}{9}$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $\frac{8}{9}$ 。

$\frac{8}{9}$

解题步骤 8.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $\frac{8}{9}$ 。由于其值为正，函数在 $(1, 3)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, 3)$ 上递增

解题步骤 9

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简分母。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

解题步骤 9.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 8 - 3)}^{2}})$

解题步骤 9.2.1.3

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

解题步骤 9.2.1.4

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

解题步骤 9.2.1.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{25})$

解题步骤 9.2.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = (8 - 2) (\frac{4}{25})$

解题步骤 9.2.2.2

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$f' (4) = 6 (\frac{4}{25})$

解题步骤 9.2.3

乘以 $6 (\frac{4}{25})$ 。

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解题步骤 9.2.3.1

组合 $6$ 和 $\frac{4}{25}$ 。

$f' (4) = \frac{6 \cdot 4}{25}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = \frac{24}{25}$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $\frac{24}{25}$ 。

$\frac{24}{25}$

解题步骤 9.3

在 $x = 4$ 处，导数为 $\frac{24}{25}$ 。由于其值为正，函数在 $(3, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(1, 3), (3, \infty)$

递减于： $(- \infty, - 1), (- 1, 1)$

解题步骤 11

微积分学 示例

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