微积分学示例

$f (x) = 3^{- x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 3^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (3^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 1.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$f' (x) = 3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3^{- x} \ln (3) \cdot - 1$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $- 1$ 移到 $3^{- x} \ln (3)$ 的左侧。

$f' (x) = - 1 \cdot (3^{- x} \ln (3))$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $- 1 \cdot 3^{- x}$ 重写为 $- 3^{- x}$ 。

$f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3^{- x} \ln (3)$ 。

$- 3^{- x} \ln (3)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3^{- x} \ln (3) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3^{- x} \ln (3) = 0$

解题步骤 2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

不存在使导数 $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ 等于 $0$ 或未定义的点。检查函数 $f (x) = 3^{- x}$ 的为递增还是递减的区间为 $(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将任意数（例如，从区间 $(- \infty, \infty)$ 中的 $1$ ）代入导数 $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - 3^{- (1)} \ln (3)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - 3^{- 1} \ln (3)$

解题步骤 5.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (1) = - \frac{1}{3} \cdot \ln (3)$

解题步骤 5.2.3

乘以 $- \frac{1}{3} \ln (3)$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $\ln (3)$ 和 $\frac{1}{3}$ 重新排序。

$f' (1) = - (\frac{1}{3} \cdot \ln (3))$

解题步骤 5.2.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \ln (3)$ 。

$f' (1) = - \ln (3^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ 。

$- \ln (3^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 6

将 $1$ 代入 $f' (x) = - 3^{- x} \ln (3)$ 得到的结果为 $- \ln (3^{\frac{1}{3}})$ ，因为是负数，所以其图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 递减。

在 $(- \infty, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减，表明这个函数恒为递减。

总是递减

解题步骤 8

微积分学 示例

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