微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

解题步骤 1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 36$ 。

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $x^{2} - 36$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

根据加法法则， $x^{2} - 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ 。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.9

组合 $2$ 和 $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.10

化简。

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解题步骤 1.1.10.1

运用分配律。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.10.2.2

将 $2$ 乘以 $- 36$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

在等式两边都加上 $72$ 。

$- 2 x^{2} = 72$

解题步骤 2.3.2

将 $- 2 x^{2} = 72$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $- 2 x^{2} = 72$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.1

用 $72$ 除以 $- 2$ 。

$x^{2} = - 36$

解题步骤 2.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 36}$

解题步骤 2.3.4

化简 $\pm \sqrt{- 36}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $- 36$ 重写为 $- 1 (36)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

解题步骤 2.3.4.2

将 $\sqrt{- 1 (36)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

解题步骤 2.3.4.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 6$

解题步骤 2.3.4.6

将 $6$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 6 i$

解题步骤 2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 6 i$

解题步骤 2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 6 i$

解题步骤 2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 6 i, - 6 i$

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.3

对 $(x + 6) (x - 6)$ 运用乘积法则。

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3

将 ${(x + 6)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 ${(x + 6)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 6)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 6)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x + 6 = 0$

解题步骤 4.2.3.2.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x = - 6$

解题步骤 4.2.4

将 ${(x - 6)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

将 ${(x - 6)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 6)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 6)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 4.2.4.2.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 4.2.5

最终解为使 ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 6, 6$

解题步骤 4.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 6, x = 6$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 6)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $49$ 。

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

从 $- 98$ 中减去 $72$ 。

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $49$ 中减去 $36$ 。

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- \frac{170}{169}$ 。

$- \frac{170}{169}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 7$ 处，导数为 $- \frac{170}{169}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 6)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 6)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 6, 6)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

从 $0$ 中减去 $72$ 。

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

从 $0$ 中减去 $36$ 。

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $- 36$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

解题步骤 7.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

约去 $- 72$ 和 $1296$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1

从 $- 72$ 中分解出因数 $72$ 。

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

解题步骤 7.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.2.1

从 $1296$ 中分解出因数 $72$ 。

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

解题步骤 7.2.3.1.2.2

约去公因数。

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

解题步骤 7.2.3.1.2.3

重写表达式。

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

解题步骤 7.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- \frac{1}{18}$ 。

$- \frac{1}{18}$

解题步骤 7.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $- \frac{1}{18}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 6, 6)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 6, 6)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(6, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $49$ 。

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

从 $- 98$ 中减去 $72$ 。

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

从 $49$ 中减去 $36$ 。

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

解题步骤 8.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- \frac{170}{169}$ 。

$- \frac{170}{169}$

解题步骤 8.3

在 $x = 7$ 处，导数为 $- \frac{170}{169}$ 。由于其值为负，函数在 $(6, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(6, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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