微积分学示例

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{5} - 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $15 x^{4} - 15 x^{2}$ 。

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$15 u^{2} - 15 u = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $15 u^{2} - 15 u$ 中分解出因数 $15 u$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $15 u^{2}$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (u) - 15 u = 0$

解题步骤 2.2.3.2

从 $- 15 u$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.3.3

从 $15 u (u) + 15 u (- 1)$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (u - 1) = 0$

解题步骤 2.2.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.5.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 2.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 2.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 2.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 2.6

最终解为使 $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1, - 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, 1, - 1$ 。

$0, 1, - 1$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $15$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = 240 - 60$

解题步骤 5.2.2

从 $240$ 中减去 $60$ 。

$f' (- 2) = 180$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $180$ 。

$180$

解题步骤 5.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $180$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 1, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6

组合 $15$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.7.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

解题步骤 6.2.1.7.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 6.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 6.2.1.9

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 6.2.1.10

一的任意次幂都为一。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

解题步骤 6.2.1.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

解题步骤 6.2.1.12

组合 $- 15$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

解题步骤 6.2.1.13

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

解题步骤 6.2.2

要将 $- \frac{15}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 6.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $\frac{15}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

解题步骤 6.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

解题步骤 6.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

解题步骤 6.2.5.2

从 $15$ 中减去 $60$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

解题步骤 6.2.6

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

解题步骤 6.2.7

最终答案为 $- \frac{45}{16}$ 。

$- \frac{45}{16}$

解题步骤 6.3

在 $x = - \frac{1}{2}$ 处，导数为 $- \frac{45}{16}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 1, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

组合 $15$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6

一的任意次幂都为一。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

解题步骤 7.2.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.1.8

组合 $- 15$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

解题步骤 7.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

解题步骤 7.2.2

要将 $- \frac{15}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $\frac{15}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

解题步骤 7.2.5

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

解题步骤 7.2.5.2

从 $15$ 中减去 $60$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

解题步骤 7.2.6

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

解题步骤 7.2.7

最终答案为 $- \frac{45}{16}$ 。

$- \frac{45}{16}$

解题步骤 7.3

在 $x = \frac{1}{2}$ 处，导数为 $- \frac{45}{16}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 1)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $15$ 乘以 $16$ 。

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 240 - 60$

解题步骤 8.2.2

从 $240$ 中减去 $60$ 。

$f' (2) = 180$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $180$ 。

$180$

解题步骤 8.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $180$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

递减于： $(- 1, 0), (0, 1)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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