微积分学示例

$f (x) = 4 - | x |$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $4 - | x |$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- | x |]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- | x |$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [| x |]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

解题步骤 1.1.2.2

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$0 - \frac{x}{| x |}$

解题步骤 1.1.3

从 $0$ 中减去 $\frac{x}{| x |}$ 。

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x}{| x |}$ 。

$- \frac{x}{| x |}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x}{| x |} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x}{| x |} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 2.3

排除不能使 $- \frac{x}{| x |} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x}{| x |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x | = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = - \frac{x}{| x |}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 4 - | x |$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{| - 1 |}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$f' (- 1) = - \frac{- 1}{1}$

解题步骤 6.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$f' (- 1) = 1$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $1$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{| 1 |}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

解题步骤 7.2.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

约去公因数。

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

解题步骤 7.2.2.2

重写表达式。

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - 1$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- 1$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 0)$

递减于： $(0, \infty)$

解题步骤 9

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