微积分学示例

$f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 x^{2} + 4 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x + 4 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $8 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 8 x + 4$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $8 x + 4$ 。

$8 x + 4$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $8 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$8 x + 4 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$8 x = - 4$

解题步骤 2.3

将 $8 x = - 4$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $8 x = - 4$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 4}{8}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{8}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

约去 $- 4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 (- 1)}{8}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $- \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = 8 x + 4$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 6$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$ 。

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- \frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (- \frac{3}{2}) + 4$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (\frac{- 3}{2}) + 4$

解题步骤 5.2.1.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (4) (\frac{- 3}{2}) + 4$

解题步骤 5.2.1.1.3

约去公因数。

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{- 3}{2})) + 4$

解题步骤 5.2.1.1.4

重写表达式。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot - 3 + 4$

解题步骤 5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 12 + 4$

解题步骤 5.2.2

将 $- 12$ 和 $4$ 相加。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 8$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 8$ 。

$- 8$

解题步骤 5.3

在 $x = - \frac{3}{2}$ 处，导数为 $- 8$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{2}) + 4$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{1}{2}) + 4$

解题步骤 6.2.1.2

约去公因数。

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{1}{2})) + 4$

解题步骤 6.2.1.3

重写表达式。

$f' (\frac{1}{2}) = 4 + 4$

解题步骤 6.2.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f' (\frac{1}{2}) = 8$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $8$ 。

$8$

解题步骤 6.3

在 $x = \frac{1}{2}$ 处，导数为 $8$ 。由于其值为正，函数在 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \frac{1}{2}, \infty)$

递减于： $(- \infty, - \frac{1}{2})$

解题步骤 8

微积分学 示例

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