微积分学示例

$f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 (x + 2) x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [(x + 2) x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 2$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 ((x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.6

在公分母上合并分子。

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.8

合并分数。

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解题步骤 1.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$4 ((x + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 ((x + 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

解题步骤 1.1.9

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 1.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 1.1.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.12

化简表达式。

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解题步骤 1.1.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.12.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$4 ((x + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.13

化简。

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解题步骤 1.1.13.1

运用分配律。

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.13.2

运用分配律。

$4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3

合并项。

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解题步骤 1.1.13.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$4 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.13.3.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.13.3.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$4 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.3.3

在公分母上合并分子。

$4 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$4 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.4

组合 $4$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.5

从 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.6

约去公因数。

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解题步骤 1.1.13.3.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.6.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.6.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.6.4

用 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.7

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.8

约去公因数。

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.9

重写表达式。

$2 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.10

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.3.11

将 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3

将 $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.3

在公分母上合并分子。

$6 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 x^{\frac{2}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$6 x^{1} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2

化简 $6 x^{1}$ 。

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.3

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

约去公因数。

$6 x + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

重写表达式。

$6 x + 4 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 x + 4 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$6 x = - 4$

解题步骤 2.4.2

将 $6 x = - 4$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $6 x = - 4$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{6}$

解题步骤 2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.3.1

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{3}$

解题步骤 2.5

排除不能使 $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 4.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$6 \sqrt{x^{1}} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 4.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 4.1.4

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$6 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{4}{\sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x} = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.4

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 4.5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 4 (x + 2) \sqrt{x}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ 。

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.1.2

计算指数。

$f' (- 1) = 6 \sqrt{- 1} + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.1.4

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.4.1

将 ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ 。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

解题步骤 6.2.1.4.2

计算指数。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{\sqrt{- 1}}$

解题步骤 6.2.1.4.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $\frac{4}{i}$ 的分子和分母乘以 $i$ 的共轭以使分母变为实数。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4}{i} \cdot \frac{i}{i}$

解题步骤 6.2.1.6

乘。

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解题步骤 6.2.1.6.1

合并。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

解题步骤 6.2.1.6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.6.2.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

解题步骤 6.2.1.6.2.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i i}$

解题步骤 6.2.1.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{1 + 1}}$

解题步骤 6.2.1.6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{i^{2}}$

解题步骤 6.2.1.6.2.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 6 i + \frac{4 i}{- 1}$

解题步骤 6.2.1.7

移动 $\frac{4 i}{- 1}$ 中分母的负号。

$f' (- 1) = 6 i - 1 \cdot (4 i)$

解题步骤 6.2.1.8

将 $- 1 \cdot (4 i)$ 重写为 $- (4 i)$ 。

$f' (- 1) = 6 i - (4 i)$

解题步骤 6.2.1.9

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 6 i - 4 i$

解题步骤 6.2.2

从 $6 i$ 中减去 $4 i$ 。

$f' (- 1) = 2 i$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2 i$ 。

$2 i$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $2 i$ 。因其包含虚数，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上不存在。

因为 $f' (x)$ 为虚数，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上不是实函数

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 6 {(1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 6 \cdot 1 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 6 + \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 6 + \frac{4}{1}$

解题步骤 7.2.1.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$f' (1) = 6 + 4$

解题步骤 7.2.2

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$f' (1) = 10$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $10$ 。

$10$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $10$ 。由于其值为正，函数在 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(0, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例