微积分学示例

$f (x) = - 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 2 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.5

组合 $\frac{- 2}{2}$ 和 $x$ 。

$- 2 + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.6.2.2

约去公因数。

$- 2 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.6.2.3

重写表达式。

$- 2 + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.6.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$- 2 - x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 2 - x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 2 - x + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.4.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 - x + \frac{3}{2} x^{2}$

解题步骤 1.1.4.4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 2 - x + \frac{3 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.1.5

重新排序项。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2} - x - 2 = 0$

解题步骤 2.2

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$2 (\frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

重写表达式。

$3 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

解题步骤 2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4

将 $a = 3$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 4)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.3

将 $4$ 和 $48$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $52$ 重写为 $2^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.1

从 $52$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.3

将 $4$ 和 $48$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $52$ 重写为 $2^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $52$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 4}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.3

将 $4$ 和 $48$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $52$ 重写为 $2^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 2.7.1.4.1

从 $52$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 2.8

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}) \cup (\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3}) \cup (\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1.8685171$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} - (- 1.8685171) - 2$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

求公分母。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- (- 1.8685171)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1.8685171)}{1} - 2$

解题步骤 5.2.1.2

将 $\frac{- (- 1.8685171)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1.8685171)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\frac{- (- 1.8685171)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} - 2$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

解题步骤 5.2.1.5

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.2.1.6

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2}}{2} + \frac{1.8685171 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.2

在公分母上合并分子。

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 {(- 1.8685171)}^{2} + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $- 1.8685171$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1.8685171) = \frac{3 \cdot 3.49135615 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3.49135615$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.3

乘以 $- (- 1.8685171) \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1.8685171$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 1.8685171 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.3.2

将 $1.8685171$ 乘以 $2$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 3.7370342 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.47406845 + 3.7370342 - 4}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简表达式。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $10.47406845$ 和 $3.7370342$ 相加。

$f' (- 1.8685171) = \frac{14.21110265 - 4}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $14.21110265$ 中减去 $4$ 。

$f' (- 1.8685171) = \frac{10.21110265}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

用 $10.21110265$ 除以 $2$ 。

$f' (- 1.8685171) = 5.10555132$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $5.10555132$ 。

$5.10555132$

解题步骤 5.3

在 $x = - 1.8685171$ 处，导数为 $5.10555132$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 0.8685171, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.\overline{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} - (0.\overline{3}) - 2$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

求公分母。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- (0.\overline{3})$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- (0.\overline{3})}{1} - 2$

解题步骤 6.2.1.2

将 $\frac{- (0.\overline{3})}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- (0.\overline{3})}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

解题步骤 6.2.1.3

将 $\frac{- (0.\overline{3})}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} - 2$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2}}{2} + \frac{- 0.\overline{3} \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.2

在公分母上合并分子。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 {(0.\overline{3})}^{2} - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.3

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.1

对 $0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{3 \cdot 0.11111112 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $3$ 乘以 $0.11111112$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.3.3

乘以 $- (0.\overline{3}) \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.2.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $0.\overline{3}$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.\overline{3} \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.3.3.2

将 $- 0.\overline{3}$ 乘以 $2$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.6666667 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.3.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{0.33333336 - 0.6666667 - 4}{2}$

解题步骤 6.2.4

化简表达式。

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解题步骤 6.2.4.1

从 $0.33333336$ 中减去 $0.6666667$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{- 0.\overline{3} - 4}{2}$

解题步骤 6.2.4.2

从 $- 0.\overline{3}$ 中减去 $4$ 。

$f' (0.\overline{3}) = \frac{- 4.\overline{3}}{2}$

解题步骤 6.2.4.3

用 $- 4.\overline{3}$ 除以 $2$ 。

$f' (0.\overline{3}) = - 2.1\overline{6}$

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $- 2.1\overline{6}$ 。

$- 2.1\overline{6}$

解题步骤 6.3

在 $x = 0.\overline{3}$ 处，导数为 $- 2.1\overline{6}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 0.8685171, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.5351838$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} - (2.5351838) - 2$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

求公分母。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $- (2.5351838)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- (2.5351838)}{1} - 2$

解题步骤 7.2.1.2

将 $\frac{- (2.5351838)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- (2.5351838)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2$

解题步骤 7.2.1.3

将 $\frac{- (2.5351838)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} - 2$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1}$

解题步骤 7.2.1.5

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.2.1.6

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2}}{2} + \frac{- 2.5351838 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.2

在公分母上合并分子。

$f' (2.5351838) = \frac{3 {(2.5351838)}^{2} - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.3

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $2.5351838$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2.5351838) = \frac{3 \cdot 6.42715689 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $3$ 乘以 $6.42715689$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.3.3

乘以 $- (2.5351838) \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.2.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2.5351838$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 2.5351838 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.3.3.2

将 $- 2.5351838$ 乘以 $2$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 5.0703676 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.3.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{19.28147069 - 5.0703676 - 4}{2}$

解题步骤 7.2.4

化简表达式。

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解题步骤 7.2.4.1

从 $19.28147069$ 中减去 $5.0703676$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{14.21110309 - 4}{2}$

解题步骤 7.2.4.2

从 $14.21110309$ 中减去 $4$ 。

$f' (2.5351838) = \frac{10.21110309}{2}$

解题步骤 7.2.4.3

用 $10.21110309$ 除以 $2$ 。

$f' (2.5351838) = 5.10555154$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $5.10555154$ 。

$5.10555154$

解题步骤 7.3

在 $x = 2.5351838$ 处，导数为 $5.10555154$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{3}), (\frac{1 + \sqrt{13}}{3}, \infty)$

递减于： $(\frac{1 - \sqrt{13}}{3}, \frac{1 + \sqrt{13}}{3})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例