微积分学示例

$f (x) = 6 x^{4} + 24 x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $6 x^{4} + 24 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $24$ 。

$f' (x) = 24 x^{3} + 72 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $24 x^{3} + 72 x^{2}$ 。

$24 x^{3} + 72 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

从 $24 x^{3} + 72 x^{2}$ 中分解出因数 $24 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $24 x^{3}$ 中分解出因数 $24 x^{2}$ 。

$24 x^{2} (x) + 72 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $72 x^{2}$ 中分解出因数 $24 x^{2}$ 。

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3)$ 中分解出因数 $24 x^{2}$ 。

$24 x^{2} (x + 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $24 x^{2} (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, - 3$ 。

$0, - 3$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 24 {(- 4)}^{3} + 72 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 4) = 24 \cdot - 64 + 72 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $24$ 乘以 $- 64$ 。

$f' (- 4) = - 1536 + 72 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = - 1536 + 72 \cdot 16$

解题步骤 5.2.1.4

将 $72$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 4) = - 1536 + 1152$

解题步骤 5.2.2

将 $- 1536$ 和 $1152$ 相加。

$f' (- 4) = - 384$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 384$ 。

$- 384$

解题步骤 5.3

在 $x = - 4$ 处，导数为 $- 384$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 3)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 3)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 3, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.5.1

将 $- \frac{27}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5.2

从 $24$ 中分解出因数 $8$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (3) (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5.3

约去公因数。

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 27}{8})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5.4

重写表达式。

$f' (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot - 27 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $3$ 乘以 $- 27$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.7.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

解题步骤 6.2.1.7.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 6.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 6.2.1.9

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

解题步骤 6.2.1.10

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{2^{2}})$

解题步骤 6.2.1.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{4})$

解题步骤 6.2.1.12

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.12.1

从 $72$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 (18) (\frac{9}{4})$

解题步骤 6.2.1.12.2

约去公因数。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 \cdot (18 (\frac{9}{4}))$

解题步骤 6.2.1.12.3

重写表达式。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 18 \cdot 9$

解题步骤 6.2.1.13

将 $18$ 乘以 $9$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 162$

解题步骤 6.2.2

将 $- 81$ 和 $162$ 相加。

$f' (- \frac{3}{2}) = 81$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $81$ 。

$81$

解题步骤 6.3

在 $x = - \frac{3}{2}$ 处，导数为 $81$ 。由于其值为正，函数在 $(- 3, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 3, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 72 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 72 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 24 + 72 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 24 + 72 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.4

将 $72$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 24 + 72$

解题步骤 7.2.2

将 $24$ 和 $72$ 相加。

$f' (1) = 96$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $96$ 。

$96$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $96$ 。由于其值为正，函数在 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 3, 0), (0, \infty)$

递减于： $(- \infty, - 3)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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