微积分学示例

$f (x) = 4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 45 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 45$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 45 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (150 x)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 (2 x) + \frac{d}{d x} (150 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 45$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + \frac{d}{d x} (150 x)$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [150 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $150$ 对于 $x$ 是常数，所以 $150 x$ 对 $x$ 的导数是 $150 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4.3

将 $150$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{2} - 90 x + 150$ 。

$12 x^{2} - 90 x + 150$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 90 x + 150 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 90 x + 150 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{2} - 90 x + 150$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) - 90 x + 150 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 90 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x) + 150 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $150$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x) + 6 (25) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2} - 15 x) + 6 (25) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $6 (2 x^{2} - 15 x) + 6 (25)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ 并且它们的和为 $b = - 15$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

从 $- 15 x$ 中分解出因数 $- 15$ 。

$6 (2 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

把 $- 15$ 重写为 $- 5$ 加 $- 10$

$6 (2 x^{2} + (- 5 - 10) x + 25) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.3

运用分配律。

$6 (2 x^{2} - 5 x - 10 x + 25) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$6 ((2 x^{2} - 5 x) - 10 x + 25) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$6 (x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 5$ 来因式分解多项式。

$6 ((2 x - 5) (x - 5)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (2 x - 5) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 5 = 0$

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.4

将 $2 x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 5 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $2 x - 5 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$2 x = 5$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2 x = 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $2 x = 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{5}{2}$

解题步骤 2.5

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 (2 x - 5) (x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{5}{2}, 5$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{5}{2}, 5$ 。

$\frac{5}{2}, 5$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, 5) \cup (5, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{5}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.5) = 12 {(1.5)}^{2} - 90 \cdot 1.5 + 150$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $1.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1.5) = 12 \cdot 2.25 - 90 \cdot 1.5 + 150$

解题步骤 5.2.1.2

将 $12$ 乘以 $2.25$ 。

$f' (1.5) = 27 - 90 \cdot 1.5 + 150$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 90$ 乘以 $1.5$ 。

$f' (1.5) = 27 - 135 + 150$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $27$ 中减去 $135$ 。

$f' (1.5) = - 108 + 150$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 108$ 和 $150$ 相加。

$f' (1.5) = 42$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $42$ 。

$42$

解题步骤 5.3

在 $x = 1.5$ 处，导数为 $42$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, \frac{5}{2})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \frac{5}{2})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(2.5, 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3.75$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3.75) = 12 {(3.75)}^{2} - 90 \cdot 3.75 + 150$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $3.75$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3.75) = 12 \cdot 14.0625 - 90 \cdot 3.75 + 150$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $14.0625$ 。

$f' (3.75) = 168.75 - 90 \cdot 3.75 + 150$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 90$ 乘以 $3.75$ 。

$f' (3.75) = 168.75 - 337.5 + 150$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $168.75$ 中减去 $337.5$ 。

$f' (3.75) = - 168.75 + 150$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 168.75$ 和 $150$ 相加。

$f' (3.75) = - 18.75$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 18.75$ 。

$- 18.75$

解题步骤 6.3

在 $x = 3.75$ 处，导数为 $- 18.75$ 。由于其值为负，函数在 $(2.5, 5)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{5}{2}, 5)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(5, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = 12 {(6)}^{2} - 90 \cdot 6 + 150$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = 12 \cdot 36 - 90 \cdot 6 + 150$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $36$ 。

$f' (6) = 432 - 90 \cdot 6 + 150$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 90$ 乘以 $6$ 。

$f' (6) = 432 - 540 + 150$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $432$ 中减去 $540$ 。

$f' (6) = - 108 + 150$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 108$ 和 $150$ 相加。

$f' (6) = 42$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $42$ 。

$42$

解题步骤 7.3

在 $x = 6$ 处，导数为 $42$ 。由于其值为正，函数在 $(5, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(5, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, \frac{5}{2}), (5, \infty)$

递减于： $(\frac{5}{2}, 5)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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