微积分学示例

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $- 20 x^{3} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 20 x^{3} - 8 x$ 。

$- 20 x^{3} - 8 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 20 x^{3} - 8 x$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 20 x^{3}$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $5 x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $5 x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$5 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $5 x^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$5 x^{2} = - 2$

解题步骤 2.5.2.2

将 $5 x^{2} = - 2$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $5 x^{2} = - 2$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

解题步骤 2.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

解题步骤 2.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

解题步骤 2.5.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

解题步骤 2.5.2.4.3

将 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.5.2.4.4

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 2.5.2.4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 2.5.2.4.5.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.4.5.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 2.5.2.4.5.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 2.5.2.4.6

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.4.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

解题步骤 2.5.2.4.6.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

解题步骤 2.5.2.4.7

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

解题步骤 2.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

解题步骤 2.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

解题步骤 2.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 20$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 20 + 8$

解题步骤 5.2.2

将 $20$ 和 $8$ 相加。

$f' (- 1) = 28$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $28$ 。

$28$

解题步骤 5.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $28$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - 20 - 8$

解题步骤 6.2.2

从 $- 20$ 中减去 $8$ 。

$f' (1) = - 28$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 28$ 。

$- 28$

解题步骤 6.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- 28$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 0)$

递减于： $(0, \infty)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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