微积分学示例

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $64 x^{2} + \frac{54}{x} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $64 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{54}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $54$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{54}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$128 x + 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$128 x + 54 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $54$ 。

$128 x - 54 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$128 x - 54 x^{- 2} + 0$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$128 x - 54 \frac{1}{x^{2}} + 0$

解题步骤 1.1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.1.5.2.1

组合 $- 54$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$128 x + \frac{- 54}{x^{2}} + 0$

解题步骤 1.1.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$128 x - \frac{54}{x^{2}} + 0$

解题步骤 1.1.5.2.3

将 $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 128 x - \frac{54}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $128 x - \frac{54}{x^{2}}$ 。

$128 x - \frac{54}{x^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{2}, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 2.3

将 $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $128 x - \frac{54}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$128 x \cdot x^{2} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$128 (x^{2} x) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$128 x^{2 + 1} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$128 x^{3} - \frac{54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

将 $- \frac{54}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$128 x^{3} + \frac{- 54}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$128 x^{3} - 54 = 0 x^{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$128 x^{3} - 54 = 0$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

在等式两边都加上 $54$ 。

$128 x^{3} = 54$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $54$ 。

$128 x^{3} - 54 = 0$

解题步骤 2.4.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.4.3.1

从 $128 x^{3} - 54$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.4.3.1.1

从 $128 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (64 x^{3}) - 54 = 0$

解题步骤 2.4.3.1.2

从 $- 54$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (64 x^{3}) + 2 (- 27) = 0$

解题步骤 2.4.3.1.3

从 $2 (64 x^{3}) + 2 (- 27)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (64 x^{3} - 27) = 0$

解题步骤 2.4.3.2

将 $64 x^{3}$ 重写为 ${(4 x)}^{3}$ 。

$2 ({(4 x)}^{3} - 27) = 0$

解题步骤 2.4.3.3

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$2 ({(4 x)}^{3} - 3^{3}) = 0$

解题步骤 2.4.3.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 4 x$ 和 $b = 3$ 。

$2 ((4 x - 3) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

解题步骤 2.4.3.5

因数。

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解题步骤 2.4.3.5.1

化简。

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解题步骤 2.4.3.5.1.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$2 ((4 x - 3) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

解题步骤 2.4.3.5.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

解题步骤 2.4.3.5.1.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 3^{2})) = 0$

解题步骤 2.4.3.5.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 ((4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9)) = 0$

解题步骤 2.4.3.5.2

去掉多余的括号。

$2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$

解题步骤 2.4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 x - 3 = 0$

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

解题步骤 2.4.5

将 $4 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $4 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$4 x - 3 = 0$

解题步骤 2.4.5.2

求解 $x$ 的 $4 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$4 x = 3$

解题步骤 2.4.5.2.2

将 $4 x = 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.4.5.2.2.1

将 $4 x = 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 2.4.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.5.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

解题步骤 2.4.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{4}$

解题步骤 2.4.6

将 $16 x^{2} + 12 x + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $16 x^{2} + 12 x + 9$ 设为等于 $0$ 。

$16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

解题步骤 2.4.6.2

求解 $x$ 的 $16 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.6.2.2

将 $a = 16$ 、 $b = 12$ 和 $c = 9$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.3

从 $144$ 中减去 $576$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.4

将 $- 432$ 重写为 $- 1 (432)$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (432)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.7

将 $432$ 重写为 $12^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1.7.1

从 $432$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.7.2

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.9

将 $12$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 2.4.6.2.3.3

化简 $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.2.4.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.3

从 $144$ 中减去 $576$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.4

将 $- 432$ 重写为 $- 1 (432)$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (432)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.7

将 $432$ 重写为 $12^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.4.1.7.1

从 $432$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.7.2

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.1.9

将 $12$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 2.4.6.2.4.3

化简 $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.4.5

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.4.6

从 $3 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.4.7

从 $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.4.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.2.5.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.3

从 $144$ 中减去 $576$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.4

将 $- 432$ 重写为 $- 1 (432)$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (432)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.7

将 $432$ 重写为 $12^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.5.1.7.1

从 $432$ 中分解出因数 $144$ 。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.7.2

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.1.9

将 $12$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 2.4.6.2.5.3

化简 $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.5.5

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.5.6

从 $- 3 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.5.7

从 $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.7

最终解为使 $2 (4 x - 3) (16 x^{2} + 12 x + 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{54}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 128 (- 1) - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $128$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = - 128 - \frac{54}{1}$

解题步骤 6.2.1.3

用 $54$ 除以 $1$ 。

$f' (- 1) = - 128 - 1 \cdot 54$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $54$ 。

$f' (- 1) = - 128 - 54$

解题步骤 6.2.2

从 $- 128$ 中减去 $54$ 。

$f' (- 1) = - 182$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 182$ 。

$- 182$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $- 182$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \frac{3}{4})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.375$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.375) = 128 (0.375) - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $128$ 乘以 $0.375$ 。

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{{(0.375)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $0.375$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.375) = 48 - \frac{54}{0.140625}$

解题步骤 7.2.1.3

用 $54$ 除以 $0.140625$ 。

$f' (0.375) = 48 - 1 \cdot 384$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $384$ 。

$f' (0.375) = 48 - 384$

解题步骤 7.2.2

从 $48$ 中减去 $384$ 。

$f' (0.375) = - 336$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 336$ 。

$- 336$

解题步骤 7.3

在 $x = 0.375$ 处，导数为 $- 336$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \frac{3}{4})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \frac{3}{4})$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(\frac{3}{4}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1.75$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.75) = 128 (1.75) - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $128$ 乘以 $1.75$ 。

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{{(1.75)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

对 $1.75$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1.75) = 224 - \frac{54}{3.0625}$

解题步骤 8.2.1.3

用 $54$ 除以 $3.0625$ 。

$f' (1.75) = 224 - 1 \cdot 17.63265306$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $17.63265306$ 。

$f' (1.75) = 224 - 17.63265306$

解题步骤 8.2.2

从 $224$ 中减去 $17.63265306$ 。

$f' (1.75) = 206.36734693$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $206.36734693$ 。

$206.36734693$

解题步骤 8.3

在 $x = 1.75$ 处，导数为 $206.36734693$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{3}{4}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{3}{4}, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(\frac{3}{4}, \infty)$

递减于： $(- \infty, 0), (0, \frac{3}{4})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例