微积分学示例

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

将 ${(2 x - 3)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 3) (2 x - 3)$ 。

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

解题步骤 1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 3) (2 x - 3)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

解题步骤 1.1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

解题步骤 1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.1.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.1.3.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

解题步骤 1.1.3.2

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

解题步骤 1.1.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ 。

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5

求微分。

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解题步骤 1.1.5.1

根据加法法则， $4 x^{2} - 12 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5.5

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5.7

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5.8

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5.9

将 $8 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

解题步骤 1.1.5.11

将 $4 x^{2} - 12 x + 9$ 乘以 $1$ 。

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

运用分配律。

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 1.1.6.2

合并项。

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解题步骤 1.1.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 1.1.6.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 1.1.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 1.1.6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 1.1.6.2.5

将 $- 12$ 移到 $x$ 的左侧。

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

解题步骤 1.1.6.2.6

将 $8 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

解题步骤 1.1.6.2.7

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{2} - 24 x + 9$ 。

$12 x^{2} - 24 x + 9$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{2} - 24 x + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ 并且它们的和为 $b = - 8$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $- 8$ 。

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

把 $- 8$ 重写为 $- 2$ 加 $- 6$

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.1.3

运用分配律。

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $2 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 x = 3$

解题步骤 2.5.2.2

将 $2 x = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $2 x = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

解题步骤 5.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0.25$ 。

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 0.5$ 。

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $3$ 和 $12$ 相加。

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

解题步骤 5.2.2.2

将 $15$ 和 $9$ 相加。

$f' (- 0.5) = 24$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $24$ 。

$24$

解题步骤 5.3

在 $x = - 0.5$ 处，导数为 $24$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0.5, \frac{3}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$f' (1) = - 12 + 9$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 12$ 和 $9$ 相加。

$f' (1) = - 3$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 6.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- 3$ 。由于其值为负，函数在 $(0.5, \frac{3}{2})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{3}{2}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $6.25$ 。

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $2.5$ 。

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $75$ 中减去 $60$ 。

$f' (2.5) = 15 + 9$

解题步骤 7.2.2.2

将 $15$ 和 $9$ 相加。

$f' (2.5) = 24$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $24$ 。

$24$

解题步骤 7.3

在 $x = 2.5$ 处，导数为 $24$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{3}{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{3}{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

递减于： $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

解题步骤 9

微积分学 示例

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