微积分学示例

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $8 x^{3} + 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $24 x^{2} + 7$ 。

$24 x^{2} + 7$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $24 x^{2} + 7 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$24 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$24 x^{2} = - 7$

解题步骤 2.3

将 $24 x^{2} = - 7$ 中的每一项除以 $24$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $24 x^{2} = - 7$ 中的每一项都除以 $24$ 。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $24$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

解题步骤 2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

解题步骤 2.5

化简 $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $- \frac{7}{24}$ 重写为 ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

解题步骤 2.5.1.2

从 $7$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $24$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

解题步骤 2.5.1.4

重新整理分数 $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

解题步骤 2.5.1.5

将 $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ 重写为 ${(\frac{i}{2})}^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

解题步骤 2.5.2

从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

解题步骤 2.5.3

将 $\sqrt{\frac{7}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 2.5.4

将 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

解题步骤 2.5.5

合并和化简分母。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 2.5.5.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

解题步骤 2.5.5.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

解题步骤 2.5.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 2.5.5.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 2.5.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.5.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

解题步骤 2.5.5.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

解题步骤 2.5.6

化简分子。

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解题步骤 2.5.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

解题步骤 2.5.6.2

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

解题步骤 2.5.7

乘以 $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ 。

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解题步骤 2.5.7.1

将 $\frac{i}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{42}}{6}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 2.5.7.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

不存在使导数 $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ 等于 $0$ 或未定义的点。检查函数 $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ 的为递增还是递减的区间为 $(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将任意数（例如，从区间 $(- \infty, \infty)$ 中的 $1$ ）代入导数 $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

解题步骤 5.2.1.2

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 24 + 7$

解题步骤 5.2.2

将 $24$ 和 $7$ 相加。

$f' (1) = 31$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $31$ 。

$31$

解题步骤 6

将 $1$ 代入 $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ 得到的结果为 $31$ ，因为是正数，所以其图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 递增。

因为 $24 x^{2} + 7 > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增意味着该函数恒为递增。

总是递增

解题步骤 8

微积分学 示例

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