微积分学示例

$f (x) = 19 x + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $19 x + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [19 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (19 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [19 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $19$ 对于 $x$ 是常数，所以 $19 x$ 对 $x$ 的导数是 $19 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 19 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $19$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 19 - x^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = 19 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.5

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 19$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{x^{2}} + 19$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + 19$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $19$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$

解题步骤 2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, 1$

解题步骤 2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 2.4

将 $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

解题步骤 2.4.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - 19 x^{2}$

解题步骤 2.5

求解方程。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $- 19 x^{2} = - 1$ 。

$- 19 x^{2} = - 1$

解题步骤 2.5.2

将 $- 19 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 19$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- 19 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 19$ 。

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

解题步骤 2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

约去 $- 19$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

解题步骤 2.5.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 19}$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{2} = \frac{1}{19}$

解题步骤 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{19}}$

解题步骤 2.5.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{19}}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{19}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

解题步骤 2.5.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

解题步骤 2.5.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{19}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

解题步骤 2.5.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.5.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{19}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

解题步骤 2.5.4.4.2

对 $\sqrt{19}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

解题步骤 2.5.4.4.3

对 $\sqrt{19}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

解题步骤 2.5.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.6

将 ${\sqrt{19}}^{2}$ 重写为 $19$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{19}$ 重写成 $19^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{1}}$

解题步骤 2.5.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19}$

解题步骤 2.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}$

解题步骤 2.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{19}}{19}$

解题步骤 2.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$ 。

$\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.22941573$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{{(- 1.22941573)}^{2}} + 19$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.22941573$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

解题步骤 6.2.1.2

用 $1$ 除以 $1.51146303$ 。

$f' (- 1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0.66161062$ 。

$f' (- 1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

解题步骤 6.2.2

将 $- 0.66161062$ 和 $19$ 相加。

$f' (- 1.22941573) = 18.33838937$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $18.33838937$ 。

$18.33838937$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1.22941573$ 处，导数为 $18.33838937$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 0.22941573, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 0.11470786$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{{(- 0.11470786)}^{2}} + 19$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 0.11470786$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

解题步骤 7.2.1.2

用 $1$ 除以 $0.01315789$ 。

$f' (- 0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $76.00000256$ 。

$f' (- 0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

解题步骤 7.2.2

将 $- 76.00000256$ 和 $19$ 相加。

$f' (- 0.11470786) = - 57.00000256$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 57.00000256$ 。

$- 57.00000256$

解题步骤 7.3

在 $x = - 0.11470786$ 处，导数为 $- 57.00000256$ 。由于其值为负，函数在 $(- 0.22941573, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.11470786$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{{(0.11470786)}^{2}} + 19$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.11470786$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

解题步骤 8.2.1.2

用 $1$ 除以 $0.01315789$ 。

$f' (0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $76.00000256$ 。

$f' (0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

解题步骤 8.2.2

将 $- 76.00000256$ 和 $19$ 相加。

$f' (0.11470786) = - 57.00000256$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 57.00000256$ 。

$- 57.00000256$

解题步骤 8.3

在 $x = 0.11470786$ 处，导数为 $- 57.00000256$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $1.22941573$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{{(1.22941573)}^{2}} + 19$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $1.22941573$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

解题步骤 9.2.1.2

用 $1$ 除以 $1.51146303$ 。

$f' (1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

解题步骤 9.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0.66161062$ 。

$f' (1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

解题步骤 9.2.2

将 $- 0.66161062$ 和 $19$ 相加。

$f' (1.22941573) = 18.33838937$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $18.33838937$ 。

$18.33838937$

解题步骤 9.3

在 $x = 1.22941573$ 处，导数为 $18.33838937$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}), (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

递减于： $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0), (0, \frac{\sqrt{19}}{19})$

解题步骤 11

微积分学 示例

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