微积分学示例

$f (x) = 13 x^{4} - 78 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $13 x^{4} - 78 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (13 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [13 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $13 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 13 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 13 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $13$ 。

$f' (x) = 52 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 78$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 78 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 78$ 。

$f' (x) = 52 x^{3} - 156 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $52 x^{3} - 156 x$ 。

$52 x^{3} - 156 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $52 x^{3} - 156 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$52 x^{3} - 156 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $52 x^{3} - 156 x$ 中分解出因数 $52 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $52 x^{3}$ 中分解出因数 $52 x$ 。

$52 x (x^{2}) - 156 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 156 x$ 中分解出因数 $52 x$ 。

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $52 x (x^{2}) + 52 x (- 3)$ 中分解出因数 $52 x$ 。

$52 x (x^{2} - 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{2} = 3$

解题步骤 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $52 x (x^{2} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ 。

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2.7320508$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2.7320508) = 52 {(- 2.7320508)}^{3} - 156 \cdot - 2.7320508$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2.7320508$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2.7320508) = 52 \cdot - 20.39230467 - 156 \cdot - 2.7320508$

解题步骤 5.2.1.2

将 $52$ 乘以 $- 20.39230467$ 。

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 - 156 \cdot - 2.7320508$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 156$ 乘以 $- 2.7320508$ 。

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 + 426.1999248$

解题步骤 5.2.2

将 $- 1060.39984314$ 和 $426.1999248$ 相加。

$f' (- 2.7320508) = - 634.19991834$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 634.19991834$ 。

$- 634.19991834$

解题步骤 5.3

在 $x = - 2.7320508$ 处，导数为 $- 634.19991834$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 1.7320508, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.8660254$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.8660254) = 52 {(- 0.8660254)}^{3} - 156 \cdot - 0.8660254$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.8660254$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 0.8660254) = 52 \cdot - 0.64951904 - 156 \cdot - 0.8660254$

解题步骤 6.2.1.2

将 $52$ 乘以 $- 0.64951904$ 。

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 - 156 \cdot - 0.8660254$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 156$ 乘以 $- 0.8660254$ 。

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 + 135.0999624$

解题步骤 6.2.2

将 $- 33.7749903$ 和 $135.0999624$ 相加。

$f' (- 0.8660254) = 101.32497209$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $101.32497209$ 。

$101.32497209$

解题步骤 6.3

在 $x = - 0.8660254$ 处，导数为 $101.32497209$ 。由于其值为正，函数在 $(- 1.7320508, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \sqrt{3}, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \sqrt{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.8660254$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.8660254) = 52 {(0.8660254)}^{3} - 156 \cdot 0.8660254$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.8660254$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (0.8660254) = 52 \cdot 0.64951904 - 156 \cdot 0.8660254$

解题步骤 7.2.1.2

将 $52$ 乘以 $0.64951904$ 。

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 156 \cdot 0.8660254$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 156$ 乘以 $0.8660254$ 。

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 135.0999624$

解题步骤 7.2.2

从 $33.7749903$ 中减去 $135.0999624$ 。

$f' (0.8660254) = - 101.32497209$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 101.32497209$ 。

$- 101.32497209$

解题步骤 7.3

在 $x = 0.8660254$ 处，导数为 $- 101.32497209$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \sqrt{3})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(\sqrt{3}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2.7320508$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2.7320508) = 52 {(2.7320508)}^{3} - 156 \cdot 2.7320508$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $2.7320508$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2.7320508) = 52 \cdot 20.39230467 - 156 \cdot 2.7320508$

解题步骤 8.2.1.2

将 $52$ 乘以 $20.39230467$ 。

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 156 \cdot 2.7320508$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 156$ 乘以 $2.7320508$ 。

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 426.1999248$

解题步骤 8.2.2

从 $1060.39984314$ 中减去 $426.1999248$ 。

$f' (2.7320508) = 634.19991834$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $634.19991834$ 。

$634.19991834$

解题步骤 8.3

在 $x = 2.7320508$ 处，导数为 $634.19991834$ 。由于其值为正，函数在 $(\sqrt{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\sqrt{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$

递减于： $(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$

解题步骤 10

微积分学 示例

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