微积分学示例

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

在 $0$ 处分解积分并写为极限之和。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 1 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 1 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 1 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

解题步骤 2.3

将上限代入替换 $u = 1 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{upper} = 1 - 0$

解题步骤 2.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 1 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 7

组合 $e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $e^{u}$ 在 $1$ 处和在 $1 - t^{2}$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 8.2

化简。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 9

使 $u = 1 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = 1 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $1 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 9.1.2

求微分。

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解题步骤 9.1.2.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 9.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 9.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 9.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 9.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 9.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 9.2

将下限代入替换 $u = 1 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 - 0$

解题步骤 9.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 9.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 9.4

将上限代入替换 $u = 1 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

解题步骤 9.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

解题步骤 9.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 10.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

解题步骤 13

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

解题步骤 14

组合 $e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

解题步骤 15

代入并化简。

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解题步骤 15.1

计算 $e^{u}$ 在 $1 - t^{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

解题步骤 15.2

化简。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

解题步骤 16

计算极限值。

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解题步骤 16.1

计算极限值。

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解题步骤 16.1.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

解题步骤 16.1.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

解题步骤 16.1.3

当 $t$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

解题步骤 16.1.4

计算 $e$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

解题步骤 16.2

因为指数 $1 - t^{2}$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{1 - t^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

解题步骤 16.3

计算极限值。

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解题步骤 16.3.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

解题步骤 16.3.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

解题步骤 16.3.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

解题步骤 16.4

因为指数 $1 - t^{2}$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{1 - t^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

解题步骤 16.5

计算极限值。

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解题步骤 16.5.1

计算 $e$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

解题步骤 16.5.2

化简答案。

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解题步骤 16.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.5.2.1.1

从 $e$ 中减去 $0$ 。

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

解题步骤 16.5.2.1.2

组合 $e$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

解题步骤 16.5.2.1.3

从 $0$ 中减去 $e$ 。

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

解题步骤 16.5.2.1.4

乘以 $- \frac{1}{2} (- e)$ 。

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解题步骤 16.5.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

解题步骤 16.5.2.1.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

解题步骤 16.5.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e$ 。

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

解题步骤 16.5.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- e + e}{2}$

解题步骤 16.5.2.3

将 $- e$ 和 $e$ 相加。

$\frac{0}{2}$

解题步骤 16.5.2.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0$

微积分学 示例

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