微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 12 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 12 x - 24 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 24$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 12 x - 24$ 。

$3 x^{2} - 12 x - 24$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$

解题步骤 2.2

从 $3 x^{2} - 12 x - 24$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 12 x - 24 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 24 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $- 24$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$

解题步骤 2.3

将 $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2} - 4 x - 8$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 4 x - 8 = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x^{2} - 4 x - 8 = 0$

解题步骤 2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - 8$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.3

将 $16$ 和 $32$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.3

将 $16$ 和 $32$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.7.1.4.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

解题步骤 2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 2 + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.3

将 $16$ 和 $32$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.8.1.4.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.8.3

化简 $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

解题步骤 2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 2 - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = 2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$ 。

$2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}) \cup (2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3}) \cup (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2.4641017$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2.4641017) = 3 {(- 2.4641017)}^{2} - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2.4641017$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2.4641017) = 3 \cdot 6.07179718 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $6.07179718$ 。

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $- 2.4641017$ 。

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 + 29.5692204 - 24$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $18.21539156$ 和 $29.5692204$ 相加。

$f' (- 2.4641017) = 47.78461196 - 24$

解题步骤 5.2.2.2

从 $47.78461196$ 中减去 $24$ 。

$f' (- 2.4641017) = 23.78461196$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $23.78461196$ 。

$23.78461196$

解题步骤 5.3

在 $x = - 2.4641017$ 处，导数为 $23.78461196$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2.00000015$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2.00000015) = 3 {(2.00000015)}^{2} - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $2.00000015$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2.00000015) = 3 \cdot 4.0000006 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $4.0000006$ 。

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $2.00000015$ 。

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 24.0000018 - 24$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $12.0000018$ 中减去 $24.0000018$ 。

$f' (2.00000015) = - 12 - 24$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 12$ 中减去 $24$ 。

$f' (2.00000015) = - 36$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 36$ 。

$- 36$

解题步骤 6.3

在 $x = 2.00000015$ 处，导数为 $- 36$ 。由于其值为负，函数在 $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $6.464102$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6.464102) = 3 {(6.464102)}^{2} - 12 \cdot 6.464102 - 24$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $6.464102$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6.464102) = 3 \cdot 41.78461466 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $41.78461466$ 。

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $6.464102$ 。

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 77.569224 - 24$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $125.35384399$ 中减去 $77.569224$ 。

$f' (6.464102) = 47.78461999 - 24$

解题步骤 7.2.2.2

从 $47.78461999$ 中减去 $24$ 。

$f' (6.464102) = 23.78461999$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $23.78461999$ 。

$23.78461999$

解题步骤 7.3

在 $x = 6.464102$ 处，导数为 $23.78461999$ 。由于其值为正，函数在 $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}), (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

递减于： $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$

解题步骤 9

微积分学 示例

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