微积分学示例

$f (x) = x^{4} + 16 x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 16 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} + 48 x^{2}$ 。

$4 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

从 $4 x^{3} + 48 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x) + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $48 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (12) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (12)$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x + 12) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x + 12 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x + 12$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 12$ 设为等于 $0$ 。

$x + 12 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $12$ 。

$x = - 12$

解题步骤 2.6

最终解为使 $4 x^{2} (x + 12) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 12$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, - 12$ 。

$0, - 12$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 12)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 13$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 13) = 4 {(- 13)}^{3} + 48 {(- 13)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 13$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 13) = 4 \cdot - 2197 + 48 {(- 13)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 2197$ 。

$f' (- 13) = - 8788 + 48 {(- 13)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 13$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 13) = - 8788 + 48 \cdot 169$

解题步骤 5.2.1.4

将 $48$ 乘以 $169$ 。

$f' (- 13) = - 8788 + 8112$

解题步骤 5.2.2

将 $- 8788$ 和 $8112$ 相加。

$f' (- 13) = - 676$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 676$ 。

$- 676$

解题步骤 5.3

在 $x = - 13$ 处，导数为 $- 676$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 12)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 12)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 12, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 48 {(- 6)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 48 {(- 6)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 216$ 。

$f' (- 6) = - 864 + 48 {(- 6)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = - 864 + 48 \cdot 36$

解题步骤 6.2.1.4

将 $48$ 乘以 $36$ 。

$f' (- 6) = - 864 + 1728$

解题步骤 6.2.2

将 $- 864$ 和 $1728$ 相加。

$f' (- 6) = 864$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $864$ 。

$864$

解题步骤 6.3

在 $x = - 6$ 处，导数为 $864$ 。由于其值为正，函数在 $(- 12, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 12, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 4 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 4 + 48 {(1)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 4 + 48 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.4

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 4 + 48$

解题步骤 7.2.2

将 $4$ 和 $48$ 相加。

$f' (1) = 52$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $52$ 。

$52$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $52$ 。由于其值为正，函数在 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 12, 0), (0, \infty)$

递减于： $(- \infty, - 12)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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