微积分学示例

$f (x) = \frac{x - 4}{x - 8}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = x - 8$ 。

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 8) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 8) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $x - 8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 8 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{x - 8 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x - 8 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x - 8 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 8 - (x - 4) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 8 - (x - 4)}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x - 8 - x - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.2.1

合并 $x - 8 - x - - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 - 8 - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- 8 - - 4}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 8 + 4}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.3

将 $- 8$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 4}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ 。

$- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{4}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$4 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $4 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 8)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = - \frac{4}{{(x - 8)}^{2}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \frac{x - 4}{x - 8}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$ 。

$(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 8)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = - \frac{4}{{((7) - 8)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $7$ 中减去 $8$ 。

$f' (7) = - \frac{4}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (7) = - \frac{4}{1}$

解题步骤 6.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1

用 $4$ 除以 $1$ 。

$f' (7) = - 1 \cdot 4$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (7) = - 4$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 6.3

在 $x = 7$ 处，导数为 $- 4$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 8)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 8)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(8, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f' (9) = - \frac{4}{{((9) - 8)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1

从 $9$ 中减去 $8$ 。

$f' (9) = - \frac{4}{1^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (9) = - \frac{4}{1}$

解题步骤 7.2.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.1

用 $4$ 除以 $1$ 。

$f' (9) = - 1 \cdot 4$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (9) = - 4$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 7.3

在 $x = 9$ 处，导数为 $- 4$ 。由于其值为负，函数在 $(8, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(8, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, 8), (8, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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