微积分学示例

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $x^{2} + 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

重新排序项。

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.3.5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

把 $2$ 重写为 $- 1$ 加 $3$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.1.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.3.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.8

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.9

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.10

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 。

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$(x + 1) (x - 3) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.3.3

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $(x + 1) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 3$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $- 1, 3$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- \frac{5}{49}$ 。

$- \frac{5}{49}$

解题步骤 5.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $- \frac{5}{49}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 1, 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

解题步骤 6.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

解题步骤 6.2.3.2

约去 $- 4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.3.2.2.2

约去公因数。

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3

重写表达式。

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

解题步骤 6.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (1) = \frac{1}{4}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 6.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $\frac{1}{4}$ 。由于其值为正，函数在 $(- 1, 3)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, 3)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $16$ 和 $3$ 相加。

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $19$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

解题步骤 7.2.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- \frac{5}{361}$ 。

$- \frac{5}{361}$

解题步骤 7.3

在 $x = 4$ 处，导数为 $- \frac{5}{361}$ 。由于其值为负，函数在 $(3, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(3, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 1, 3)$

递减于： $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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