微积分学示例

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 1 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 1 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 1 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.4

重新排序项。

$\frac{- x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.5

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) + 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.6

从 $2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.7

从 $- (x^{2}) - (- 2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.8

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.9

从 $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.10

将 $- (x^{2} - 2 x - 1)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 2 x - 1)$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.11

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x^{2} - 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.5.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 2.3.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$ 。

$1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1.41421357$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{{(- 1.41421357)}^{2} - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1.41421357$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 - 2 \cdot - 1.41421357 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1.41421357$ 。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{2.00000002 + 2.82842714 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $2.00000002$ 和 $2.82842714$ 相加。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{4.82842716 - 1}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.4

从 $4.82842716$ 中减去 $1$ 。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{({(- 1.41421357)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $- 1.41421357$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{(2.00000002 + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $2.00000002$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{{3.00000002}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $3.00000002$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1.41421357) = - \frac{3.82842716}{9.00000012}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

用 $3.82842716$ 除以 $9.00000012$ 。

$f' (- 1.41421357) = - 1 \cdot 0.42538078$

解题步骤 5.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0.42538078$ 。

$f' (- 1.41421357) = - 0.42538078$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- 0.42538078$ 。

$- 0.42538078$

解题步骤 5.3

在 $x = - 1.41421357$ 处，导数为 $- 0.42538078$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1.00000006$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.00000006) = - \frac{{(1.00000006)}^{2} - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({(1.00000006)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $1.00000006$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2 \cdot 1.00000006 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1.00000006$ 。

$f' (1.00000006) = - \frac{1.00000013 - 2.00000013 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

从 $1.00000013$ 中减去 $2.00000013$ 。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 1 - 1}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{({1.00000006}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $1.00000006$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{(1.00000013 + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1.00000013$ 和 $1$ 相加。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{{2.00000013}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $2.00000013$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1.00000006) = - \frac{- 2}{4.00000052}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $4.00000052$ 。

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

解题步骤 6.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 0.49999993$ 。

$f' (1.00000006) = 0.49999993$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $0.49999993$ 。

$0.49999993$

解题步骤 6.3

在 $x = 1.00000006$ 处，导数为 $0.49999993$ 。由于其值为正，函数在 $(- 0.41421357, 1 + \sqrt{2})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3.4142137$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3.4142137) = - \frac{{(3.4142137)}^{2} - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({(3.4142137)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $3.4142137$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 2 \cdot 3.4142137 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $3.4142137$ 。

$f' (3.4142137) = - \frac{11.65685518 - 6.8284274 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

从 $11.65685518$ 中减去 $6.8284274$ 。

$f' (3.4142137) = - \frac{4.82842778 - 1}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4

从 $4.82842778$ 中减去 $1$ 。

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{({3.4142137}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $3.4142137$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{(11.65685518 + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $11.65685518$ 和 $1$ 相加。

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{{12.65685518}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $12.65685518$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3.4142137) = - \frac{3.82842778}{160.19598328}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

用 $3.82842778$ 除以 $160.19598328$ 。

$f' (3.4142137) = - 1 \cdot 0.0238984$

解题步骤 7.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0.0238984$ 。

$f' (3.4142137) = - 0.0238984$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- 0.0238984$ 。

$- 0.0238984$

解题步骤 7.3

在 $x = 3.4142137$ 处，导数为 $- 0.0238984$ 。由于其值为负，函数在 $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

递减于： $(- \infty, 1 - \sqrt{2}), (1 + \sqrt{2}, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例