微积分学示例

$y = \frac{4 x - 8}{2 x + 3}$ , $x = 2$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x - 8$ 且 $g (x) = 2 x + 3$ 。

$\frac{(2 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $4$ 移到 $2 x + 3$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (2 x + 3) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + 0)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 2.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (2 x + 3) - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

合并 $4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.1.1

按照 $4 (2 x)$ 和 $- 2 (4 x)$ 重新排列因数。

$\frac{2 \cdot 4 x + 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 x - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

从 $2 \cdot 4 x$ 中减去 $2 \cdot 4 x$ 。

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $4 \cdot 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 \cdot 3 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{12 + 16}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $12$ 和 $16$ 相加。

$\frac{28}{{(2 x + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$\frac{28}{{(2 (2) + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{28}{{(4 + 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{28}{7^{2}}$

解题步骤 5.1.3

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{28}{49}$

解题步骤 5.2

约去 $28$ 和 $49$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $28$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (4)}{49}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $49$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{7}$

微积分学 示例

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