微积分学示例

$y = (3 x^{2} - 5 x + 1) (2 - 3 x - x^{2})$ , $x = 4$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 1$ 且 $g (x) = 2 - 3 x - x^{2}$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 - 3 x - x^{2}] + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 - 3 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 相加。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - (2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $3 x^{2} - 5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.11

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.13

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.14

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.16

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.17

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + 0)$

解题步骤 2.18

将 $6 x - 5$ 和 $0$ 相加。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

从 $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ 中分解出因数 $1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

从 $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.1.2

从 $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

解题步骤 3.2

将 $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1)$ 。

$- 3 (3 x^{2}) - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 9 x^{2} - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- 5$ 乘以 $- 3$ 。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{2 + 1} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.6

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.8.1

移动 $x$ 。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.9

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.2.10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.3

将 $- 9 x^{2}$ 和 $10 x^{2}$ 相加。

$x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.4

从 $15 x$ 中减去 $2 x$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

解题步骤 3.4.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.4.1

移动 $x$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.5

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.6

将 $- 5$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.7

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{2} x - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.8.1

移动 $x$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.9

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

解题步骤 3.4.6.10

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

解题步骤 3.4.7

将 $12 x$ 和 $15 x$ 相加。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 18 x^{2} - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

解题步骤 3.4.8

将 $- 18 x^{2}$ 和 $5 x^{2}$ 相加。

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3} - 13 x^{2}$

解题步骤 3.5

从 $x^{2}$ 中减去 $13 x^{2}$ 。

$- 12 x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3}$

解题步骤 3.6

将 $13 x$ 和 $27 x$ 相加。

$- 12 x^{2} + 40 x - 3 - 6 x^{3} - 10 - 6 x^{3}$

解题步骤 3.7

从 $- 3$ 中减去 $10$ 。

$- 12 x^{2} + 40 x - 6 x^{3} - 13 - 6 x^{3}$

解题步骤 3.8

从 $- 6 x^{3}$ 中减去 $6 x^{3}$ 。

$- 12 x^{2} + 40 x - 12 x^{3} - 13$

解题步骤 4

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$- 12 {(4)}^{2} + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \cdot 16 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

解题步骤 5.1.2

将 $- 12$ 乘以 $16$ 。

$- 192 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

解题步骤 5.1.3

将 $40$ 乘以 $4$ 。

$- 192 + 160 - 12 {(4)}^{3} - 13$

解题步骤 5.1.4

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 192 + 160 - 12 \cdot 64 - 13$

解题步骤 5.1.5

将 $- 12$ 乘以 $64$ 。

$- 192 + 160 - 768 - 13$

解题步骤 5.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将 $- 192$ 和 $160$ 相加。

$- 32 - 768 - 13$

解题步骤 5.2.2

从 $- 32$ 中减去 $768$ 。

$- 800 - 13$

解题步骤 5.2.3

从 $- 800$ 中减去 $13$ 。

$- 813$

微积分学 示例

微积分学示例