微积分学示例

$y = {(2 x + 1)}^{x}$ , $x = 1$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 x + 1)}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(2 x + 1)}^{x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (2 x + 1)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x \ln (2 x + 1)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

解题步骤 2.3

使用 $x \ln (2 x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (2 x + 1)$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x + 1$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2 x + 1}$ 和 $x$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.7

合并分数。

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解题步骤 5.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.7.2

组合 $\frac{x}{2 x + 1}$ 和 $2$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.7.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1)$

解题步骤 5.9

将 $\ln (2 x + 1)$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1))$

解题步骤 6

要将 $\ln (2 x + 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ 。

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 8

组合 $e^{x \ln (2 x + 1)}$ 和 $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ 。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1.1

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 9.1.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 9.1.1.3

将 $\ln (2 x + 1)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

解题步骤 9.1.1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (2 x + 1)$ 。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

解题步骤 9.1.2

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x) + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 9.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 9.1.4

将 $2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x e^{x \ln (2 x + 1)} + x e^{x \ln (2 x + 1)} \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 9.2

重新排序项。

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

解题步骤 10

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$\frac{2 e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $1 \ln (2 (1) + 1)$ 。

$\frac{2 e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{2 {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cdot 3^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.5

计算指数。

$\frac{2 \cdot 3 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.6

乘以 $2 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 11.1.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.6.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.7

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $1 \ln (2 (1) + 1)$ 。

$\frac{6 + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.8

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{6 + {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.10

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 + 3^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.11

计算指数。

$\frac{6 + 3 \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.12

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.14

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 + 3 \ln (3^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.15

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6 + 3 \ln (9) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.16

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (9)$ 。

$\frac{6 + \ln (9^{3}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.17

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{6 + \ln (729) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.18

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $1 \ln (2 (1) + 1)$ 。

$\frac{6 + \ln (729) + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.19

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 (1) + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.20

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.21

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 + \ln (729) + 3^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.22

计算指数。

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.23

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 + 1)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.24

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (3)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.25

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (3)$ 。

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (3^{3})}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.26

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (27)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.27

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\frac{6 + \ln (729 \cdot 27)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.1.28

将 $729$ 乘以 $27$ 。

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 (1) + 1}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 + 1}$

解题步骤 11.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 + \ln (19683)}{3}$

微积分学 示例

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