微积分学示例

$V = \cos (102 t) \sin (201 t)$ , $t = 4$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = \cos (102 t)$ 且 $g (t) = \sin (201 t)$ 。

$\cos (102 t) \frac{d}{d t} [\sin (201 t)] + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 201 t$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $201 t$ 。

$\cos (102 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (102 t) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

解题步骤 2.3

使用 $201 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (102 t) (\cos (201 t) \frac{d}{d t} [201 t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $201$ 对于 $t$ 是常数，所以 $201 t$ 对 $t$ 的导数是 $201 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \frac{d}{d t} [t]) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (102 t) \cos (201 t) (201 \cdot 1) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $201$ 乘以 $1$ 。

$\cos (102 t) \cos (201 t) \cdot 201 + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

解题步骤 3.3.2

将 $201$ 移到 $\cos (102 t) \cos (201 t)$ 的左侧。

$201 \cdot (\cos (102 t) \cos (201 t)) + \sin (201 t) \frac{d}{d t} [\cos (102 t)]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 102 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $102 t$ 。

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [102 t])$

解题步骤 4.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [102 t])$

解题步骤 4.3

使用 $102 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) \frac{d}{d t} [102 t])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $102$ 对于 $t$ 是常数，所以 $102 t$ 对 $t$ 的导数是 $102 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- \sin (102 t) (102 \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.2

将 $102$ 乘以 $- 1$ 。

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t) \cdot 1)$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 102$ 乘以 $1$ 。

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) + \sin (201 t) (- 102 \sin (102 t))$

解题步骤 5.4.2

重新排序项。

$201 \cos (102 t) \cos (201 t) - 102 \sin (102 t) \sin (201 t)$

解题步骤 6

计算在 $t = 4$ 处的导数。

$201 \cos (102 (4)) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将 $102$ 乘以 $4$ 。

$201 \cos (408) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$201 \cos (48) \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.3

计算 $\cos (48)$ 。

$201 \cdot 0.6691306 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.4

将 $201$ 乘以 $0.6691306$ 。

$134.49525187 \cos (201 (4)) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.5

将 $201$ 乘以 $4$ 。

$134.49525187 \cos (804) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.6

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$134.49525187 \cos (84) - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.7

计算 $\cos (84)$ 。

$134.49525187 \cdot 0.10452846 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.8

将 $134.49525187$ 乘以 $0.10452846$ 。

$14.05858199 - 102 \sin (102 (4)) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.9

将 $102$ 乘以 $4$ 。

$14.05858199 - 102 \sin (408) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.10

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 102 \sin (48) \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.11

计算 $\sin (48)$ 。

$14.05858199 - 102 \cdot 0.74314482 \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.12

将 $- 102$ 乘以 $0.74314482$ 。

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (201 (4))$

解题步骤 7.1.13

将 $201$ 乘以 $4$ 。

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (804)$

解题步骤 7.1.14

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$14.05858199 - 75.80077219 \sin (84)$

解题步骤 7.1.15

计算 $\sin (84)$ 。

$14.05858199 - 75.80077219 \cdot 0.99452189$

解题步骤 7.1.16

将 $- 75.80077219$ 乘以 $0.99452189$ 。

$14.05858199 - 75.38552763$

解题步骤 7.2

从 $14.05858199$ 中减去 $75.38552763$ 。

$- 61.32694564$

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