微积分学示例

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

解题步骤 1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \sin (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

解题步骤 9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

解题步骤 13.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

解题步骤 14

计算在 $x = \frac{π}{3}$ 处的导数。

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 15.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.3.4.1

约去公因数。

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.3.4.2

重写表达式。

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.3.5

计算指数。

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.5.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.5.2

约去公因数。

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.5.3

重写表达式。

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.6

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

解题步骤 15.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

解题步骤 15.1.8

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 15.1.9

一的任意次幂都为一。

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

解题步骤 15.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

解题步骤 15.1.11

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.11.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

解题步骤 15.1.11.2

约去公因数。

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

解题步骤 15.1.11.3

重写表达式。

$- 6 + 2$

解题步骤 15.2

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$- 4$

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