微积分学示例

$s = 2 t^{3} - 4 t^{2}$ , $t = 4$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 t^{3} - 4 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t^{2}]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t^{2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 4 t^{2}]$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 4 t^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [- 4 t^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$6 t^{2} - 4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 t^{2} - 4 (2 t)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$6 t^{2} - 8 t$

解题步骤 4

计算在 $t = 4$ 处的导数。

$6 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 \cdot 16 - 8 \cdot 4$

解题步骤 5.1.2

将 $6$ 乘以 $16$ 。

$96 - 8 \cdot 4$

解题步骤 5.1.3

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$96 - 32$

解题步骤 5.2

从 $96$ 中减去 $32$ 。

$64$

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