微积分学示例

$8$ , $2$ , $\frac{1}{2}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{1}{4}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{1}{4}$

解题步骤 2

级数 $S_{n}$ 的和可以使用公式 $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 进行计算。对于无限几何级数的和 $S_{\infty}$ ，由于 $n$ 趋于 $\infty$ 、 $1 - r^{n}$ 趋于 $1$ ，因此， $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 趋于 $\frac{a}{1 - r}$ 。

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

解题步骤 3

值 $a = 8$ 和 $r = \frac{1}{4}$ 可以代入方程 $S_{\infty}$ 。

$S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{4}}$

解题步骤 4

化简方程以求 $S_{\infty}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

解题步骤 4.1.2

在公分母上合并分子。

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4 - 1}{4}}$

解题步骤 4.1.3

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$S_{\infty} = 8 (\frac{4}{3})$

解题步骤 4.3

乘以 $8 (\frac{4}{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

组合 $8$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$S_{\infty} = \frac{8 \cdot 4}{3}$

解题步骤 4.3.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$S_{\infty} = \frac{32}{3}$

微积分学 示例

微积分学示例