微积分学示例

$3$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{3}{16}$ , $\frac{3}{64}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{1}{4}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{1}{4}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = 3$ 和 $r = \frac{1}{4}$ 的值。

$a_{n} = 3 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

解题步骤 4

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = 3 \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

解题步骤 5

一的任意次幂都为一。

$a_{n} = 3 \frac{1}{4^{n - 1}}$

解题步骤 6

组合 $3$ 和 $\frac{1}{4^{n - 1}}$ 。

$a_{n} = \frac{3}{4^{n - 1}}$

解题步骤 7

这是求等比数列的前 $n$ 项之和的公式。要进行计算，求出 $r$ 和 $a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 8

使用已知值替换变量以求 $S_{4}$ 。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{4} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1^{4}}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9.2

一的任意次幂都为一。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{4^{4}} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9.3

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{256}{256}$ 。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} - 1 \cdot \frac{256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{256}{256}$ 。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9.6

在公分母上合并分子。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9.7

化简分子。

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解题步骤 9.7.1

将 $- 1$ 乘以 $256$ 。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{1 - 256}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9.7.2

从 $1$ 中减去 $256$ 。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{- 255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9.8

将负号移到分数的前面。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 10.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 10.3

在公分母上合并分子。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 10.4

化简分子。

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解题步骤 10.4.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{1 - 4}{4}}$

解题步骤 10.4.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{\frac{- 3}{4}}$

解题步骤 10.5

将负号移到分数的前面。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{- \frac{255}{256}}{- \frac{3}{4}}$

解题步骤 11

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{3}{4}}$

解题步骤 12

将分子乘以分母的倒数。

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3})$

解题步骤 13

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从 $255$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 (85)}{256} \cdot \frac{4}{3})$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{3 \cdot 85}{256} \cdot \frac{4}{3})$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{256} \cdot 4)$

解题步骤 14

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 (64)} \cdot 4)$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$S_{4} = 3 \cdot (\frac{85}{4 \cdot 64} \cdot 4)$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$S_{4} = 3 \cdot \frac{85}{64}$

解题步骤 15

乘以 $3 (\frac{85}{64})$ 。

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解题步骤 15.1

组合 $3$ 和 $\frac{85}{64}$ 。

$S_{4} = \frac{3 \cdot 85}{64}$

解题步骤 15.2

将 $3$ 乘以 $85$ 。

$S_{4} = \frac{255}{64}$

微积分学 示例

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